P.-S.
a) Lo más indicado es que dibujes todas las fuerzas presentes en el sistema para poder analizarlo según las direcciones horizontal y vertical:
En el eje X:
Hay dos fuerzas que tienen suman cero porque no hay movimiento en esa dirección, es decir, tienen que ser iguales en módulo y dirección pero sentido contrario:
En el eje Y:
Ahora son tres fuerzas las que deben sumar cero. Despejas el valor de la componente vertical de la fuerza aplicada:
La fuerza de rozamiento es el producto del coeficiente de fricción por la normal. Al sustituir en esta última ecuación obtienes:
![F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \mu_s\cdot sen\ \theta}}}}](local/cache-vignettes/L410xH31/e49118693e1360c61ca8e35eca75e6c0-f8ad7.png?1732976834 "F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \mu_s\cdot sen\ \theta}}}}")
b) Si haces la derivada de la expresión para la fuerza anterior obtienes un extremo relativo:
Puedes hacer la derivada de la expresión anterior o considerar que se cumplirá la igualdad cuando la derivada del denominador sea cero, es decir, puedes simplificar la derivada como:
Ahora solo tienes que despejar el valor del ángulo:
![\mu_s = \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta = arctg\ \mu_s}}}](local/cache-vignettes/L229xH36/d789ba2e9d07bd1c18449ffe0982d3bb-34a73.png?1732976834 "\mu_s = \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta = arctg\ \mu_s}}}")
Para saber si es un mínimo o un máximo solo tienes que hacer la segunda derivada y evaluar el signo que tiene:
Sustituyes el coeficiente de rozamiento y tienes:
![-cos\ \theta\cdot \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta = \frac{-cos^2\ \theta - sen^2\ \theta}{cos\ \theta} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{-1}{cos\ \theta}}}](local/cache-vignettes/L364xH37/51bb163bfa63f2576e02532acf4707d0-8025b.png?1732976834 "-cos\ \theta\cdot \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta = \frac{-cos^2\ \theta - sen^2\ \theta}{cos\ \theta} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{-1}{cos\ \theta}}}")
Como el ángulo que consideras es menor de
el signo de la segunda derivada es negativo y se trata de un máximo. Como era el denominador de la ecuación de la fuerza,
la fuerza será mínima. El valor de la fuerza mínima te queda como:
![F_{min} = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta} = \frac{m\cdot g}{\frac{cos^2\ \theta + sen^2\ \theta}{cos\ \theta}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F_{min} = m\cdot g\cdot cos\ \theta}}}](local/cache-vignettes/L505xH38/f249244afdf224c6f524261ebed7a882-69954.png?1732976834 "F_{min} = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta} = \frac{m\cdot g}{\frac{cos^2\ \theta + sen^2\ \theta}{cos\ \theta}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F_{min} = m\cdot g\cdot cos\ \theta}}}")
c) Ahora cambian las componentes de la fuerza que aplicas sobre el libro, como puedes ver en la imagen:
El razonamiento a hacer es análogo a los apartados anteriores:
La fuerza a aplicar queda como:
![F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta}}}](local/cache-vignettes/L447xH37/075a89c74c66da460e7f4999dae7cf5f-6133d.png?1732976834 "F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta}}}")
Cuando el denominador sea cero, la fuerza a aplicar será infinita y el libro caerá de manera irremediable:
![sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta = 0\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta_{max} = arctg\ \mu_s}}}](local/cache-vignettes/L329xH25/4ba201a9ac01746b8c73e2387c6fc77c-cacfe.png?1732976834 "sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta = 0\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta_{max} = arctg\ \mu_s}}}")
Ejercicios FyQ
con la pared, como se muestra en la figura:
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