Fuerza para sujetar un libro contra la pared (7164)

, por F_y_Q

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Imagina que sostienes un libro contra la pared apretándolo con la mano. La fuerza forma un ángulo \theta con la pared, como se muestra en la figura:

La masa del libro es m y el coeficiente de fricción estática es \mu_s .

a) Calcula la magnitud de la fuerza que debes ejercer para (apenas) mantener el libro estacionario.

b) ¿Para qué valor del ángulo \theta la magnitud de la fuerza requerida es la más pequeña posible? ¿Cuál es la magnitud de la menor fuerza posible?

c) Si empujas con un ángulo mayor de 90 ^o, debes hacerlo muy fuerte para sostener el libro en su lugar. ¿Para qué valor del ángulo se hará imposible sostener en su lugar al libro?

P.-S.

a) Lo más indicado es que dibujes todas las fuerzas presentes en el sistema para poder analizarlo según las direcciones horizontal y vertical:


En el eje X:

Hay dos fuerzas que tienen suman cero porque no hay movimiento en esa dirección, es decir, tienen que ser iguales en módulo y dirección pero sentido contrario:

F_x - N = 0\ \to\ F_x = N

En el eje Y:

Ahora son tres fuerzas las que deben sumar cero. Despejas el valor de la componente vertical de la fuerza aplicada:

F_y + F_R - p = 0\ \to\ F_y = p - F_R

La fuerza de rozamiento es el producto del coeficiente de fricción por la normal. Al sustituir en esta última ecuación obtienes:

F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \mu_s\cdot sen\ \theta}}}}



b) Si haces la derivada de la expresión para la fuerza anterior obtienes un extremo relativo:

\frac{dF}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} \left(mg\cdot \frac{1}{cos\ \theta + \mu_s\cdot sen\ \theta}\right) = 0

Puedes hacer la derivada de la expresión anterior o considerar que se cumplirá la igualdad cuando la derivada del denominador sea cero, es decir, puedes simplificar la derivada como:

\frac{d}{d\theta}(cos\ \theta + \mu_s\cdot sen\ \theta) = 0\ \to\ -sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta = 0

Ahora solo tienes que despejar el valor del ángulo:

\mu_s = \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta = arctg\ \mu_s}}}


Para saber si es un mínimo o un máximo solo tienes que hacer la segunda derivada y evaluar el signo que tiene:

\frac{d}{d\theta}(-sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta)\ \to\ -cos\ \theta - \mu_s\cdot sen\ \theta

Sustituyes el coeficiente de rozamiento y tienes:

-cos\ \theta\cdot \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta = \frac{-cos^2\ \theta - sen^2\ \theta}{cos\ \theta} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{-1}{cos\ \theta}}}

Como el ángulo que consideras es menor de 90 ^o el signo de la segunda derivada es negativo y se trata de un máximo. Como era el denominador de la ecuación de la fuerza, la fuerza será mínima. El valor de la fuerza mínima te queda como:

F_{min} = \frac{m\cdot g}{cos\ \theta + \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\cdot sen\ \theta} = \frac{m\cdot g}{\frac{cos^2\ \theta + sen^2\ \theta}{cos\ \theta}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F_{min} = m\cdot g\cdot cos\ \theta}}}


c) Ahora cambian las componentes de la fuerza que aplicas sobre el libro, como puedes ver en la imagen:


\left F_x = F\cdot cos\ \theta \atop F_y = F\cdot sen\ \theta \right \}

El razonamiento a hacer es análogo a los apartados anteriores:

\left F_x - N = 0\ \to\ F_x = N \atop F_R - F_y - p = 0\ \to\ F_y = F_R - p

La fuerza a aplicar queda como:

F\cdot cos\ \theta = m\cdot g - \mu_s\cdot F\cdot sen\ \theta\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{F = \frac{m\cdot g}{sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta}}}

Cuando el denominador sea cero, la fuerza a aplicar será infinita y el libro caerá de manera irremediable:

sen\ \theta + \mu_s\cdot cos\ \theta = 0\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta_{max} = arctg\ \mu_s}}}