Inercia rotacional de una polea en un sistema de dos cuerpos unidos (7681)

, por F_y_Q

La figura muestra una masa de m_1 = 12.0\ kg que descansa sobre una superficie horizontal lisa y que está unida a otra masa m_2 = 30.0\ kg que se encuentra sobre un plano inclinado liso, que forma un ángulo de 35.0^o con la horizontal. Ambas masas se unen por medio de una cuerda ideal y que pasa por una polea de radio r = 20.0\ cm. La cuerda no desliza sobre la polea, que puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular a la página y que pasa por su centro. Cuando el sistema se libera del reposo, la masa m _1 se mueve hacia la derecha con una aceleración a = 1.25\ \textstyle{m\over s^2}. ¿Cuál es la inercia rotacional de la polea?


SOLUCIÓN:

Lo primero que debes hacer es pintar las fuerzas presentes en el sistema que están relacionadas con el movimiento del mismo:

Puedes plantear el problema calculando cada una de las tensiones en primer lugar:

T_2 = m_1\cdot a\ \to\ T_2 = 12\ kg\cdot 1.25\ \frac{m}{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 15\ N}}

T_1 - p_{x_2} = m_2\cdot a\ \to\ T_1 = 30\ kg\cdot \left(9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot sen\ 35 - 1.25\ \frac{m}{s^2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 131.1\ N}}

Las tensiones de la cuerda no son iguales debido a la rotación de la polea. Puedes calcular el momento de inercia si tienes en cuenta el momento debido a la diferencia de estas tensiones:

\left\ (T_1 - T_2)\cdot r = I\cdot \alpha \atop \alpha = \dfrac{a}{r} \right\} \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \frac{(T_1 - T_2)\cdot r^2}{a}}}

Sustituyes y calculas el momento de inercia:

I = \frac{(131.1 - 15)\ N\cdot 0.2^2\ m\cancel{^2}}{1.25\ \frac{\cancel{m}}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.72\ kg\cdot m^2}}}