Lanzamiento parabólico de un proyectil desde un risco (4160)

, por F_y_Q

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Un proyectil se dispara desde el extremo de un risco a 125 m sobre el nivel del suelo, con una rapidez inicial de 65 m/s y un angulo de 37 ^oC con respecto a la horizontal, determina:

a) El tiempo que tarda el proyectil en golpear en el suelo.

b) El alcance del proyectil con respecto a la base del risco.

c) Las componentes de la velocidad en el instante antes de tocar el suelo.

d) El módulo de la velocidad.

e) El ángulo formado por el vector de velocidad con respecto a la horizontal.

f) La altura máxima que alcanza el proyectil.

P.-S.

Si tomamos como referencia el punto de lanzamiento en la parte superior del risco y consideramos positivos los sentidos "arriba" y "derecha", podemos escribir las ecuaciones del movimiento como:

\left v_{0x} = v_0\cdot cos\ 37^o \atop v_{0y} = v_0\cdot sen\ 37^o \right \}

\left v_x = v_{0x} = v_0\cdot cos\ 37^o \atop v_y = v_0\cdot sen\ 37^o - gt \right \}

\left x = v_0\cdot t\cdot cos\ 37^o \atop y = v_0\cdot t\cdot sen\ 37^o - \frac{1}{2}gt^2 \right \}

a) Para determinar el tiempo que tarda en impactar con el suelo debemos considerar que la posición del proyectil es -125 m. Es negativo porque está por debajo del punto de lanzamiento:

-125 = 65\cdot sen\ 37\cdot t - 4.9t^2\ \to\ 4.9t^2 - 39.11t - 125 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos un único valor positivo del tiempo, que es el valor que tiene significado físico:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t = 10.43\ s}}}


b) El alcance del proyectil será:

x = 65\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 10.43\ \cancel{s}\cdot cos\ 37 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{567.4\ m}}}


c) Las componentes de la velocidad en ese instante son:

v_x = 65\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 37 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{51.91\ \frac{m}{s}}}}


v_y = 65\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 37 - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 10.43\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-63.10\ \frac{m}{s}}}}


La componente vertical es negativa porque el proyectil está descendiendo en el momento de alcanzar el suelo.
d) El módulo de la velocidad:

v = \sqrt{(v_x^2 + v_y^2)} = \sqrt{(51.91^2 + 63.10^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{81.71\ \frac{m}{s}}}}


e) El ángulo que forma la velocidad con la horizontal será el arcocoseno del cociente entre la componente "x" de la velocidad y el módulo de esta:

cos\ \alpha = \frac{v_x}{v}\ \to\ \alpha = \arccos\ \frac{51.91\ \cancel{\frac{m}{s}}}{81.71\ \cancel{\frac{m}{s}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{50.56^o}}}


f) Volvemos al punto de referencia, que es el punto de lanzamiento, y hacemos nula la velocidad en el eje "y", que será cuando el proyectil deje de ascender. El tiempo durante el que sube el proyectil es:

v_y = 0\ \to\ t_s = \frac{v_0\cdot sen\ 37}{g} = \frac{39.11\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 3.99\ s}

La posición del proyectil en ese instante es:

y = 39.11\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3.99\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 3.99^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{78.04\ m}}}


El proyectil alcanzará 78.04 m de altura sobre el punto de lanzamiento. Si lo referimos al suelo, la altura máxima sería de 203 m.