Longitud necesaria de una barrera para que detenga un coche (7096)

, por F_y_Q

La fuerza ejercida sobre un automóvil por una barrera parachoques al golpear el automóvil contra ésta es F = - (10^3 + 10^4\ s)\ lbf, donde s es la distancia en pies medida desde el punto de contacto inicial. Si se quiere diseñar la barrera de manera que pueda detener un auto de 5\cdot 10^3\ lb que viaje a 80\ \textstyle{mi\over h} , ¿cuál será la longitud efectiva necesaria de la barrera, es decir, cuál será la distancia necesaria de la barrera para que detenga al automóvil?


SOLUCIÓN:

La fuerza que la barrera aplica sobre el vehículo no es constante sino que depende de la deformación que sufre por lo que es necesario expresar la aceleración en función de esa deformación. La velocidad dada debes expresarla en \textstyle{ft\over s} :

80\ \frac{\cancel{mi}}{\cancel{h}}\cdot \frac{5\ 280\ ft}{1\ \cancel{mi}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3\ 600\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.17\cdot 10^2\ \frac{ft}{s}}}

La aceleración es:

\cancelto{0}{v^2} = v_0^2 + 2as\ \to\ a = \frac{-v_0^2}{2s} = - \frac{(1.17\cdot 10^2)^2\ \frac{ft\cancel{^2}}{s^2}}{2s\ \cancel{ft}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{- \frac{6.84\cdot 10^3}{s}\ \frac{ft}{s^2}}}

La fuerza que debe ejercer la barrera sobre el automóvil es el producto de la aceleración calculada por la masa del vehículo, y será igual que la fuerza indicada en el enunciado:

F = m\cdot a = 5\cdot 10^3\ lb\cdot \left(- \frac{6.84\cdot 10^3}{s}\right)\ \frac{ft}{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{- \frac{3.42\cdot 10^7}{s}\ \frac{lb\cdot ft}{s^2}}}

Ahora debes convertir la fuerza que has calculado a la misma unidad que la fuerza dada en el enunciado:

F = - \frac{3.42\cdot 10^7}{s}\ \cancel{\frac{lb\cdot ft}{s^2}}\cdot \frac{1\ lbf}{32.174\ \cancel{\frac{lb\cdot ft}{s^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{- \frac{1.06\cdot 10^6}{s}\ lbf}}

Igualas ambas fuerzas y obtienes una ecuación de segundo grado:

-10^3 - 10^4\ s = -\frac{1.06\cdot 10^6}{s}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{10^4\ s^2 + 10^3\ s - 1.06\cdot 10^6 = 0}}

Resuelves la ecuación y obtienes dos soluciones. Debes quedarte con la solución positiva que es \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf s = 2.267\ m}}