Posición del centro de masas del sistema Tierra-Luna (2478)

, por F_y_Q

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La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y la distancia entre sus centros es de 384 000 km. Conociendo que el radio de la Tierra es de 6 400 km, ¿a qué distancia de la superficie de la Tierra se encuentra el centro de masas del sistema Tierra-Luna?

P.-S.

El centro de masas se calcula a partir de la expresión:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{r_{CM} = \frac{r_T\cdot M_T + r_L\cdot M_L}{M_T + M_L}}}

La clave del problema está en la referencia a considerar. Si tomas referencia en el centro de la Tierra la posición será r_T = 0. Como la masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna, la ecuación anterior te queda como:

r_{CM} = \frac{r_L\cdot M_L}{81M_L + M_L}

Sustituyes los valores:

r_{CM} = \frac{384\ 000\ km\cdot \cancel{M}}{82\ \cancel{M}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 4\ 683\ km}}

Eso quiere decir que el centro de masas está en el interior de la Tierra, a una profundidad de:

d = (6\ 400 - 4\ 683)\ km = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ 717 km}}


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