Posición, velocidad y momento angular de un sistema de dos partículas distintas

, por F_y_Q

Las partículas m_1 = 5\ kg y m_2 = 10\ kg tienen movimientos independientes. La partícula 1 se deja libre sobre el plano liso, inclinado un ángulo \theta, mientras que la partícula 2 se lanza verticalmente hacia abajo desde la altura h con una velocidad inicial de 23.5\ \textstyle{m\over s}. La partícula 2 inicia su movimiento en el instante en que la partícula 1 abandona el plano inclinado. Determina, para t = 2 s después de que la partícula 1 abandona el plano inclinado:

a) La posición del centro de masas del sistema constituido por m_1 y m_2.

b) La velocidad del centro de masas.

c) El momento angular de cada partícula respecto al origen del sistema de referencia.
Dos partículas que se mueven con movimiento independiente


SOLUCIÓN:

b) En primer lugar calculo la velocidad del centro de masas, por ser necesarias las velocidades de las partículas para calcular la posición del centro de masas.
Partícula 1.
La velocidad que tendrá la partícula 1 al llegar al final del plano se puede obtener si se hace un balance de energía entre la altura desde la que está en el plano inclinado y la velocidad al final:
E_P(i) = E_C(f)\ \to\ v_{01} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 5\ m} = 10\ \frac{m}{s}
Debemos calcular las componentes de esta velocidad inicial y para ello usamos el dato del ángulo de plano inclinado:
\vec v_{01} = v_{01}\cdot cos\ 37^o\ \vec i + v_{01}\cdot sen\ 37^o\ \vec j\ \to\ \vec v_{01} = 7.8\ \vec i - 6\ \vec j
La velocidad de la partícula, una vez que abandona el plano, sigue la ecuación:
\vec v_1 = \vec v_{01} - gt = (7.8\ \vec i - 6\ \vec j) - 2\cdot 10\ \vec j = 7.8\ \vec i - 26\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})
Partícula 2.
La velocidad inicial es \vec v_{02} = -23.5\ \vec j y la velocidad a los 2 s será:
\vec v_2 = \vec v_{02} - gt = - 23.5\ \vec j - 2\cdot 10\ \vec j = - 43.5\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})
La velocidad del centro de masas es:
\vec v_{CM} = \frac{\sum m_i\cdot v_i}{\sum m_i}

\vec v_{CM} = \frac{5\ \cancel{kg}\cdot (7.8\ \vec i - 26\ \vec j)\ (\textstyle{m\over s}) + 10\ \cancel{kg}\cdot (- 43.5\ \vec j)\ (\textstyle{m\over s})}{(5 + 10)\ \cancel{kg}} = \bf 2.60\ \vec i - 37.67\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})


a) Ahora calculo los vectores de posición de las dos partículas para hacer la posición del centro de masas. La ecuación de la posición general es:
\vec r_i = \vec r_{0i} + \vec v_{0i}\cdot t + \frac{g}{2}\cdot t^2
Partícula 1.
\vec r_1 = 120\ \vec j + (7.8\ \vec i - 6\ \vec j)\cdot 2 + 5\ \vec j\cdot 2^2 = 15.6\ \vec i + 88\ \vec j\ (m)
Partícula 2.
\vec r_2 = (16\ \vec i + 155\ \vec j) - 23.5\ \vec j\cdot 2 - 5\ \vec j\cdot 2^2 = 16\ \vec i + 88\ \vec j\ (m)
La posición del centro de masas sigue una ecuación análoga a la de la velocidad del centro de masas:
\vec r_{CM} = \frac{\sum m_i\cdot r_i}{\sum m_i}

\vec r_{CM} = \frac{5\ \cancel{kg}\cdot (15.6\ \vec i + 88\ \vec j)\ (m) + 10\ \cancel{kg}\cdot (16\ \vec i + 88\ \vec j)\ (m)}{(5 + 10)\ \cancel{kg}} = \bf 15.9\ \vec i + 88\ \vec j\ (m)


c) Los momentos angulares de las partículas los obtengo aplicando la ecuación vectorial:
\vec L_i = \vec r_i\times m_i\cdot \vec v_i

\vec L_1 =
\left| \begin{array}{ccc}
 \vec i & \vec j & \vec k \\ 
 15.6 & 88 & 0 \\
39 & -130 & 0 
\end{array} \right| = (-2\ 028 - 3\ 432)\ \vec k = \bf - 5\ 460\ \vec k\ (\textstyle{kg\cdot m^2\over s})


\vec L_2 =
\left| \begin{array}{ccc}
 \vec i & \vec j & \vec k \\ 
 16 & 88 & 0 \\
0 & -435 & 0 
\end{array} \right| = \bf - 6\ 960\ \vec k\ (\textstyle{kg\cdot m^2\over s})