Posición, velocidad y momentos angular y lineal de un sistema de dos partículas

, por F_y_Q

La figura muestra un sistema formado por dos partículas con masas m_1 = 1\ kg y m_2 = 2\ kg. Las partículas se lanzan simultáneamente y sus velocidades iniciales son v_1 = 16\ \textstyle{m\over s} y v_2 = 12\ \textstyle{m\over s}. Para el instante t = 2 s, determina:

a) La posición del centro de masas del sistema respecto al origen.

b) La velocidad del centro de masas del sistema respecto al origen.

c) El momento angular del sistema respecto al origen.

d) El momento lineal de la partícula 1 respecto al centro de la masas.


SOLUCIÓN:

Voy a empezar a resolver el problema por el segundo apartado porque son necesarias las velocidades de las partículas para determinar sus posiciones.
b) Las velocidades de cada una de las partículas son:
Partícula 1.
\vec v_{01} = - v_1\cdot cos\ 53^o\ \vec i + v_1\cdot sen\ 53^o\ \vec j = -9.63\ \vec i + 12.78\ \vec j
Como se trata de un lanzamiento oblicuo, la velocidad de la partícula 1 sigue la ecuación:
\vec v_1 = \vec v_{01} - gt
Como la gravedad es de sentido descendente hay que considerarla negativa para ser coherente con el sistema de referencia marcado en la figura. La velocidad de la partícula para t = 2 s es:
\vec v_1 = -9.63\ \vec i + (12.78 - 20)\ \vec j = -9.63\ \vec i - 7.22\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})
Partícula 2.
La velocidad inicial solo tiene componente vertical por lo que su velocidad es \vec v_{02} = 12\ \vec j. La velocidad para t = 2 s será:
\vec v_2 = \vec v_{02} - gt\ \to\ \vec v_2 = (12 - 20)\ \vec j = -8\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})
La velocidad del centro de masas es:
\vec v_{CM} = \frac{\sum m_i\cdot v_i}{\sum m_i}

\vec v_{CM} = \frac{1\ \cancel{kg}\cdot (-9.63\ \vec i - 7.22\ \vec j)\ (\textstyle{m\over s}) + 2\ \cancel{kg}\cdot (-8\ \vec j)\ (\textstyle{m\over s})}{(1 + 2)\ \cancel{kg}} = \bf -3.21\ \vec i - 7.74\ \vec j\ (\textstyle{m\over s})


a) Ahora calculo los vectores de posición de las dos partículas para hacer la posición del centro de masas. La ecuación de la posición general es:
\vec r = \cancelto{0}{\vec r_0} + \vec v_0\cdot t + \frac{g}{2}\cdot t^2
Partícula 1.
\vec r_1 = (-9.63\ \vec i + 12.78\ \vec j)\cdot 2 + 5\ \vec j\cdot 2^2 = -19.26\ \vec i + 5.56\ \vec j\ (m)
Partícula 2.
\vec r_2 = 12\ \vec j\cdot 2 - 5\ \vec j\cdot 2^2 = 4\ \vec j\ (m)
La posición del centro de masas sigue una ecuación análoga a la de la velocidad del centro de masas:
\vec r_{CM} = \frac{\sum m_i\cdot r_i}{\sum m_i}

\vec r_{CM} = \frac{1\ \cancel{kg}\cdot (-19.26\ \vec i + 5.56\ \vec j)\ (m) + 2\ \cancel{kg}\cdot 4\ \vec j\ (m)}{(1 + 2)\ \cancel{kg}} = \bf -6.42\ \vec i + 4.52\ \vec j\ (m)


c) El momento angular del sistema con respecto al origen se obtiene haciendo el momento angular con los vectores de posición y velocidad del centro de masas:
\vec L_{CM} = \vec r_{CM}\times m_T\cdot \vec v_{CM}

\vec L_{CM} =
\left| \begin{array}{ccc}
 \vec i & \vec j & \vec k \\ 
 -6.42 & 4.52 & 0 \\
-9.63 & -23.22 & 0 
\end{array} \right| = (149.07 + 43.53)\ \vec k = \bf 192.6\ \vec k\ (\textstyle{kg\cdot m^2\over s})


d) El momento lineal de la partícula 1, con respecto al centro de masas, se obtiene aplicando la ecuación:
\vec p_1 = m_1\cdot (\vec v_1 - \vec v_{CM})

\vec p_1 = 1\ kg\cdot [(-9.63 + 3.21)\vec i - (-7.22 + 7.74)\ \vec j]\ (\textstyle{m\over s}) = \bf -6.4\ \vec i + 0.5\ \vec j\ (\textstyle{kg\cdot m\over s})