Propiedades de una onda plana, velocidad máxima y desfase (7973)

, por F_y_Q

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La ecuación de una onda plana viene dada por la expresión:

y = 0.05\cdot cos \left(600\pi \cdot t - 6\pi \cdot x + \frac{\pi}{6}\right)

en unidades SI. Determina:

a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

b) La velocidad máxima de vibración.

c) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase sea \textstyle{\pi\over 4}.

P.-S.

a) A partir de la ecuación general de una onda puedes obtener las características de la onda dada:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y = A\cdot cos (\omega \cdot t - k\cdot t + \phi)}}

La amplitud es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf A = 0.05\ m}}


La frecuencia la obtienes a partir del valor de la frecuencia angular:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{f = \frac{\omega}{2\pi}}}}\ \to\ f = \frac{600\ \cancel{\pi}}{2\ \cancel{\pi}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{f = 300\ s^{-1}}}}


La longitud de onda está relacionada con el número de onda:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{k = \frac{2\pi}{\lambda}}}}\ \to\ \lambda = \frac{2\ \cancel{\pi}}{6\ \cancel{\pi}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\lambda = \frac{1}{3}\ m}}}


La velocidad de propagación es el producto de la frecuencia por la longitud de onda:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = f\cdot \lambda}}}\ \to\ v = 300\ s^{-1}\cdot \frac{1}{3}\ m\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = 100\ m\cdot s^{-1}}}}


b) La velocidad de vibración la obtienes la derivar la expresión de la elongación, con respecto al tiempo:

v = \frac{dy}{dt} = A\cdot \omega\cdot sen\ \left(\omega\cdot t - k\cdot x + \phi \right)

La velocidad de vibración será máxima cuando la parte angular de la expresión sea igual a uno, por lo que la obtienes al imponer esa condición:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_{m\acute{a}x} = A\cdot \omega}}}\ \to\ v_{m\acute{a}x} = 0.05\ m\cdot 600\ \pi\ s^{-1}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v_{m\acute{a}x} = 30\pi\ m\cdot s^{-1}}}}


c) La ecuación que relaciona el desfase con la distancia entre dos puntos de la onda es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta \phi = \frac{2\pi \cdot d}{\lambda}}}

Despejas la distancia de la ecuación, sustituyes y calculas:

d = \frac{\Delta \phi\cdot \lambda}{2\pi} = \frac{\frac{\pi}{4}\cdot \frac{1}{3}\ m}{2\pi}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{d = \frac{1}{24}\ m}}}