Rueda que gira mientras está sujeta por un eje horizontal (7498)

, por F_y_Q

Una rueda de bicicleta se sostiene del eje con una cuerda suspendida del techo tal como muestra la figura.

El punto de amarre se ubica a una distancia de 20 cm del centro de la rueda, la llanta pesa 4 Kg y tiene un radio de 30 cm. La rueda se hace girar a 10 rev/s. El eje se orienta inicialmente de manera horizontal.

a) Demuestra que el eje de la rueda se mantendrá en posición horizontal y que esta realizará un movimiento circular.

b) Calcula la velocidad angular.


SOLUCIÓN:

a) El momento de fuerza (o torque) de la rueda lo obtienes si haces el módulo y tienes en cuenta su dirección y sentido aplicando la regla de mano derecha. Considero que el plano en el que están el eje y el peso es el plano XY por lo que su momento es:

\vec M = \vec d \times \vec p\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{M} = d\cdot m\cdot g\ (-\vec{k})}}

El momento angular del sistema lo puedes escribir en función del radio y de la velocidad angular de la rueda:

\left \vec{L} = \vec{r} \times (m\cdot \vec{v}) \atop v = \omega\cdot r \right \} \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{L} = m\cdot r^2\cdot \omega\ (\vec{k})}}

La derivada del momento angular con respecto al tiempo es igual al torque, con lo que se cumple lo calculado antes, que el sistema se moverá en el plano XY, siguiendo la dirección Z (plano que entra y sale de la pantalla).

b) La velocidad angular del sistema, velocidad de precesión, la puedes calcular a partir de la igualdad anterior, es decir, será el cociente entre el torque y el módulo del momento angular:

\Omega = \frac{|\frac{d\vec{L}}{dt}|}{|\vec{L}|} = \frac{d\cdot \cancel{m}\cdot g}{\cancel{m}\cdot r^2\cdot \omega}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Omega = \frac{d\cdot g}{r^2\cdot \omega}}}

Sustituyes y calculas:

\Omega = \frac{0.2\ \cancel{m}\cdot 9.8\ \frac{\cancel{m}}{s^{-\cancel{2}}}}{0.3^2\ \cancel{m^2}\cdot 20\pi\ \cancel{s^{-1}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{0.35\ s^{-1}}}}