Sección de un cable que produce un campo magnético que es un cuarto del campo máximo (6777)

, por F_y_Q

Un cable recto, largo y cilíndrico de sección de radio R = 1.2 mm lleva una corriente I = 7 A distribuida uniformemente en su sección transversal. Determina el valor del radio r, en el interior del cable y medido en mm, donde la magnitud del campo magnético es 1/4 de su valor máximo.


SOLUCIÓN:

A partir de la ley de Biot y Savart puedes deducir el campo magnético máximo del cable, que está referido a la sección completa:

B_{m\acute{a}x} = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi R}

Si consideras ahora solo una parte de la sección, que llamas r, el campo magnético asociado será:

B = \frac{\mu_0\cdot I^{\prime}}{2\pi r}

Debes tener cuidado porque, al considerar solo una parte de la sección del cable, la intensidad que estás considerando es distinta de la que circula por el cable. Puedes relacionar la intensidad del cable con la intensidad de la porción del cable considerada por medio del teorema de Gauss:

\frac{I^{\prime}}{I} = \frac{\frac{\cancel{\pi}\cdot r^2\cdot \cancel{L}}{\cancel{t}}}{\frac{\cancel{\pi}\cdot R^2\cdot \cancel{L}}{\cancel{t}}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{I^{\prime} = I\cdot \frac{r^2}{R^2}}}

Si impones la condición del enunciado:

B = \frac{B_{m\acute{a}x}}{4}\ \to\ \frac{\cancel{\mu_0}\cdot I^{\prime}}{2\cancel{\pi}\cdot r} = \frac{\cancel{\mu_0}\cdot I}{8\cancel{\pi}\cdot R}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{I^{\prime}}{r} = \frac{I}{4R}}}

Solo tienes que sustituir el valor de I^{\prime} en la ecuación y despejar:

\frac{\cancel{I}\cdot r\cancel{^2}}{\cancel{r}\cdot R\cancel{^2}} = \frac{\cancel{I}}{4\ \cancel{R}}\ \to\ r = \frac{R}{4} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.3\ mm}}