Temperatura a la que hay que calentar un gas para vencer una presión externa

, por F_y_Q

Un cilindro, que tiene un radio de 40 cm y 50 cm de profundidad, se llena con aire a 20 ^oC y 1 atm. Luego sobre el cilindro baja un pistón de 20 kg, y comprime el aire atrapado en el interior mientras llega a una altura de equilibrio h _1 . Para finalizar, un perro de 35 kg se pone sobre el pistón y comprime más el aire, que permanece a 20 ^oC .

a) ¿Qué distancia se mueve el émbolo cuando el perro se coloca encima de él?

b) ¿A qué temperatura se calienta el gas para elevar el pistón y al perro de regreso hasta h _1 ?


SOLUCIÓN:

Como la compresión del gas ocurre a temperatura constante, se debe cumplir la ley de Boyle:

P_0\cdot V_0 = P_1\cdot V_1\ \to\ P_1= \frac{P_0\cdot V_0}{V_f}

El volumen del cilindro es el producto del área de su base por su altura por lo que reescribes la ecuación anterior como:

P_1= \frac{\cancel{A}\cdot h_0}{\cancel{A}\cdot h_1}\cdot P_0\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{P_1 = \Big(\frac{h_0}{h_1}\Big)\cdot P_0}}

Debes tener en cuenta que la presión al bajar el cilindro también se puede poner como la suma de la presión inicial más la presión que ejerce el cilindro, que es el cociente entre el peso del cilindro y el área del émbolo:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P_1= P_0 + \frac{m_p\cdot g}{A}}}

Igualas ambas expresiones y despejas el valor de h _1:

P_0 + \frac{m_p\cdot g}{A}  = \Big(\frac{h_0}{h_1}\Big)\cdot P_0\ \to\ h_1 = \frac{h_0\cdot P_0}{P_0 + \frac{m_p\cdot g}{A}}

Ahora sustituyes y calculas el valor de la altura que alcanza el pistón:

h_1 = \frac{0.5\ m\cdot 10^5\ Pa}{10^5\ Pa + \frac{20\ kg\cdot 9.8\ m\cdot s^{-2}}{\pi\cdot 0.4^2\ m^2}}  = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.4980\ m}

Para calcular la altura que alcanza el pistón al subirse el perro solo tienes que hacer el mismo cálculo pero teniendo en cuenta que la masa será ahora la suma de las masas del pistón y el perro:

h_f =  \frac{0.5\ m\cdot 10^5\ Pa}{10^5\ Pa + \frac{55\ kg\cdot 9.8\ m\cdot s^{-2}}{\pi\cdot 0.4^2\ m^2}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.4947\ m}

a) La diferencia de altura del pistón, en valor absoluto, es:

\Delta h  = |h_f - h_1| = |0.4947 - 0.4980|\ m = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.3\cdot 10^{-3}\ m}}

La expansión del gas ocurre a presión constante, por lo que se debe cumplir ahora la ley de Charles:

\frac{V_f}{T_f} =  \frac{V_1}{T_1}\ \to\ T_f = \Big(\frac{V_f}{V_1}\Big)\cdot T_1

Recuerda que el volumen se puede expresar como el producto del área del émbolo por la altura a la que se encuentra en cada momento:

T_f =  \frac{\cancel{A}\cdot h_1}{\cancel{A}\cdot h_f}\cdot T_1

Solo tienes que sustituir y calcular:

T_f = \frac{0.498\ \cancel{m}}{0.4947\ \cancel{m}}\cdot 293\ K  = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 295\ K}}