Tensión en la cuerda de sistema de dos cuerpos unidos, con polea con momento de inercia (7600)

, por F_y_Q

Se observan en la figura dos bloques, de masas m_ 1 y m_ 2, que se encuentran unidos por una cuerda ideal (sin masa e inextensible) a través de una polea sin fricción de radio R y momento de inercia I. La superficie tiene un coeficiente de roce cinético \mu _c. Los bloques se mueven con una aceleración a.

a) Representa en un esquema las fuerzas que intervienen sobre los objetos del sistema.

b) Determina las expresiones para calcular las tensiones en la cuerda, en función de los datos dados.

c) Calcula las tensiones con los datos: a = 2.3\ \textstyle{m\over s^2} ; m _1 = 12\ kg ; m _2= 28\ kg ; \delta = 35^o ; \mu_c = 0.7 .

P.-S.

a) Para ver con detalle todas las fuerzas que hay sobre los objetos, y que están involucradas en el movimiento del sistema, clica en la miniatura:


b) Para deducir las ecuaciones de cada una de las tensiones puedes aislar los cuerpos y aplicar la segunda ley de la dinámica en cada uno de ellos.

Cuerpo 1.

La ecuación que queda es:

T^{\prime}_1} - p_{1_x} - F_R = m_1\cdot a\ \to\ T^{\prime}_1 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{T_1 = m_1(a + g\cdot sen\ \delta + \mu_c\cdot g\cdot cos\ \delta)}}}


Cuerpo 2.

p_2 - T^{\prime}_2 = m_2\cdot a\ \to\ T^{\prime}_2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{T_2 = m_2(g - a)}}}


c) Sustituyes los datos dados en el enunciado y calculas:

T_1 = 12\ kg\left(2.3\ \frac{m}{s^2} + 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot sen\ 35^o + 0.7\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 35^o\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 162.5\ N}}


T_2 = 28\ kg\left[(9.8 - 2.3)\ \frac{m}{s^2}\right] = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 210\ N}}


Observa que las tensiones son distintas a ambos lados de la polea y eso tiene que ver con la rotación de la polea y su momento de rotación. Podrías calcular el momento de inercia de la polea si aplicas la segunda ley de Newton, para la dinámica de rotación, a la polea:

\left \tau = (T_2 - T_1)\cdot R = I\cdot \alpha \atop \alpha = \frac{a}{R} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \frac{(T_2 - T_1)\cdot R^2}{a}}}