Tensión necesaria para afinar la cuerda DO de un piano (6832)

, por F_y_Q

Se supone que la cuerda DO central de un piano vibra a 261.6 Hz cuando se hace vibrar en su modo fundamental. Un afinador de piano encuentra que, en un piano que tiene una tensión de 900 N en esta cuerda, la frecuencia de vibración es 15 Hz menor. ¿Cuánto debe aumentar la tensión de la cuerda para lograr la frecuencia correcta?


SOLUCIÓN:

En la cuerda del piano se forman ondas estacionarias cuyas longitudes de onda son \lambda = \textstyle{2L\over n}. En el modo fundamental (n = 1), la longitud de onda es la mitad de la longitud de la cuerda. Si escribes la ecuación de la velocidad de vibración en función de la longitud de onda y de la frecuencia, y sustituyes la velocidad de propagación por la ecuación que la relaciona con la tensión en la cuerda y su densidad densidad lineal:

\left v = \lambda\cdot f \atop v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right \} \to\ f = \frac{1}{2L}\cdot \sqrt{\frac{T}{\mu}}

Suponiendo que la longitud de la cuerda es la misma, y que no varía la densidad lineal de la cuerda al tensarla, puedes hacer el cociente entre las frecuencias de vibración y despejar la tensión necesaria:

\frac{f_1}{f_2} = \frac{\cancel{\frac{1}{2L}}\cdot \sqrt{\frac{T_1}{\cancel{\mu}}}}{\cancel{\frac{1}{2L}}\cdot \sqrt{\frac{T_2}{\cancel{\mu}}}}\ \to\ T_2 = \frac{T_1\cdot f^2_2}{f^2_1}

Ahora solo tienes que sustituir y calcular:

T_2 = \frac{900\ N\cdot 261.6^2\ \cancel{Hz^2}}{(261.6 - 15)^2\ \cancel{Hz^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ 012.8\ N}}