Tiempo mínimo de un elevador en llegar a 40 ft de altura

, por F_y_Q

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Un elevador puede acelerar a 5\ \textstyle{ft\over s^2} y después desacelerar a 2\ \textstyle{ft\over s^2}. Determina el tiempo más corto que tardaría en llegar a un piso de una altura de 40 ft, sabiendo que ha de detenerse al llegar.

P.-S.

Para hacer este ejercicio vamos a dividir el trayecto del elevador en dos tramos. En el primer tramo irá acelerando hasta llegar a una altura que llamaremos "x", mientras que en el segundo tramo irá desacelerando hasta pararse.
Primer tramo.
x = v_0 + \frac{1}{2}a_1t_1^2\ \to\ x = 2.5t_1^2\ \to\ t_1 = \sqrt{\frac{x}{2.5}}
v_1 = v_0 + a_1t_1\ \to\ v_1 = 5t_1
Hemos expresado la posición y la velocidad del elevador en función del primer intervalo de tiempo. Vamos ahora al siguiente tramo.
Segundo tramo.
40 - x = 5t_1\cdot t_2 - \frac{1}{2}a_2t_2^2
Sustituimos el valor de t_1 en la ecuación del segundo tramo:
40 - x = 5\sqrt{\frac{x}{2,5}}\cdot t_2 - t_2^2\ \to\ t_2^2 - \sqrt{10x}\cdot t_2 - x + 40 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática para t_2 y obtenemos:
t_2 = \frac{\sqrt{10x}\pm \sqrt 2\cdot \sqrt{7x - 80}}{2}
A continuación tenemos que derivar la solución obtenida, que está en función de "x", e igualamos a cero para ese tiempo sea mínimo. Vamos a obtener como solución:
x = \frac{200}{7}\ ft = 28.57\ ft
Esto quiere decir que el elevador ascenderá hasta alcanzar la altura obtenida, comenzando luego la desaceleración. El tiempo transcurrido hasta llegar a esa altura es:
t_1 = \sqrt{\frac{28.57\ \cancel{ft}}{2.5\ \frac{\cancel{ft}}{s^2}}} = 3.38\ s
La velocidad que tendrá en ese instante es:
v_x = v_0 + a_1\cdot t_1\ \to\ v_x = 5\frac{ft}{s\cancel{^2}}\cdot 3.38\ \cancel{s} = 16.9\frac{ft}{s}
El tiempo de desaceleración será:
v_f = v_x - a_2t_2\ \to\ 2t_2 = v_x\ \to\ t_2 = \frac{16.9\frac{\cancel{ft}}{\cancel{s}}}{2\frac{\cancel{ft}}{s\cancel{^2}}} = 8.45\ s
El tiempo total invertido en el trayecto sería: \bf t_T = (3.38 + 8.45)\ s = 11.83\ s