Tiempo que tarda en dar una vuelta una atracción de feria (7454)

, por F_y_Q

El columpio gigante de una feria local consiste en un eje vertical con varios brazos horizontales unidos a su extremo superior, como puedes ver en la figura adjunta. Cada brazo sostiene un asiento suspendido de un cable de 5.00 m, sujeto al brazo en un punto a 3.00 m del eje central.

a) Calcula el tiempo de una revolución del columpio si el cable forma un ángulo de 30 ^o con la vertical.

b) El ángulo depende del peso del pasajero para una velocidad de giro determinada?


SOLUCIÓN:

Es buena idea dibujar todas las fuerzas presentes en el sistema, sin tener en cuenta rozamientos:

Si aplicas la segunda ley de la dinámica en cada uno de los ejes obtienes:

\left T_y = m\cdot g \atop T_x = m\cdot a_{ct} \right \}

a) Para calcular el tiempo de una revolución debes calcular la velocidad angular de la atracción y eso lo puedes hacer si despejas la tensión del cable en las dos ecuaciones anteriores e igualándolas:

\left T\cdot cos\ \alpha = m\cdot g\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{m\cdot g}{cos\ \alpha}}}} \atop T\cdot sen\ \alpha = m\cdot \frac{v^2}{R}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{m\cdot v^2}{R\cdot sen\ \alpha}}}} \right \}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{\cancel{m}\cdot g}{cos\ \alpha} = \frac{\cancel{m}\cdot v^2}{R\cdot sen\ \alpha}}}}

La distancia a la que está la persona del eje de giro es la suma de la distancia que la separa de la vertical (r) y la de los brazos horizontales:

R = (3 + 5\cdot sen\ 30^o)\ m\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf R = 5.5\ m}

También puedes expresar la velocidad en función de la velocidad angular:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \omega\cdot R}}

Sustituyes en la ecuación y despejas el valor de la velocidad angular:

\frac{g}{cos\ \alpha} = \frac{\omega^2\cdot R}{sen\ \alpha}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \sqrt{\frac{g\cdot tg\ \alpha}{R}}}}

Puedes sustituir los datos y calcular el valor de la velocidad angular:

\omega = \sqrt{\frac{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s^2}\cdot tg\ 30^o}{5.5\ \cancel{m}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.01\ s^{-1}}}

El tiempo en completar una vuelta es:

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{6.28}{1.01\ s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf T = 6.22\ s}}


b) Si despejas el valor del ángulo puedes ver qué es independiente de la masa de la persona:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = arctg\ \Big(\frac{\omega^2\cdot R}{g}\Big)}}}