Tiempo que tardan en cruzarse y distancia a la que lo hacen dos vehículos

, por F_y_Q

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Un automóvil y un camión viajan por caminos paralelos rectos, separados 100 millas entre sí. El automóvil se mueve con rapidez constante de 90 km/h y el camión a 20 m/s, también con rapidez constante. Si el automóvil comienza su recorrido a las 12:00 pm y el camión lo hace 15 minutos después, ¿a qué hora y a qué distancia del punto inicial del automóvil se cruzan? (1 milla = 1609 m).

P.-S.

Lo primera que haremos es realizar los cambios de unidad necesarios para que todas las magnitudes estén en el Sistema Internacional.
La distancia que separa inicialmente a los vehículo es:
d = 100\ \cancel{mi}\cdot \frac{1\ 609\ m}{1\ \cancel{mi}} = 1,61\cdot 10^5\ m
La velocidad del automóvil, en m/s, es:
90\frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot \frac{10^3\ m}{1\ \cancel{km}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3,6\cdot 10^3\ s} = 25\ \frac{m}{s}
Los 15 minutos que pasan hasta que el camión se pone en marcha son:
15\ \cancel{min}\cdot \frac{60\ s}{1\ \cancel{min}} = 900\ s
Como ambos veahículos se mueven con velocidad constante, sus ecuaciones de la posición se pueden expresar como:
x_A = v_A\cdot t\ \to\ v_A = 25t
x_C = x_0 + v_C\cdot (t - 900)\ \to\ v_C = 1,61\cdot 10^5 - 20(t - 900)
Hemos considerado la referencia en el lugar de partida del automóvil y que la velocidad de éste es positiva, por lo tanto, la velocidad del camión tiene que ser negativa porque va en sentido contrario.
Cuando se crucen ambas posiciones será iguales:

25t = 1,61\cdot 10^5 - 20t + 1,8\cdot 10^4\ \to\ 45t = 1,79\cdot 10^5\ \to\ t = \frac{1,79\cdot 10^5\ m}{45\frac{\cancel{m}}{s}} = \bf 3,98\cdot 10^3\ s


Ya tenemos el tiempo que tardan en cruzarse pero tenemos que expresarlo en formato horario para poder responder a la pregunta. Como una hora son 3 600 s, el tiempo calculado se corresponde con 1 h y 380 s, es decir, 1 h 6 min y 20 s.
La hora la que se cruzan será 01:06 h.
Calculamos la distancia del punto de partida del automóvil usando su ecuación de la posición:

x_A = 25t = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3,98\cdot 10^3\ \cancel{s} = \bf 9,95\cdot 10^3\ m


La distancia a la que se cruzan es 99,5 km desde donde parte el automóvil.