Variación de la densidad del agua con la profundidad (5208)

, por F_y_Q

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La densidad relativa del agua en la superficie del océano es de 1.025. Calcula:

a) La densidad del agua en el fondo, donde la presión es de 500 atmósferas.

b) El peso de un metro cúbico de agua a esa profundidad.

Datos: módulo de elasticidad del agua: E_{\ce{H2O}} = 2.2\cdot 10^{9}\ Pa , densidad del agua pura: \rho_{\ce{H2O}} = 10^3\ kg\cdot m^{-3} .

P.-S.

a) En primer lugar determinas la densidad del agua de mar en la superficie, gracias al dato de la densidad relativa que da el enunciado. La densidad relativa se define como el cociente entre la densidad de un líquido y la densidad del agua pura:

\rho_r = \frac{\rho_{\text{mar}}^S}{\rho_{\ce{H2O}}}\ \to\ \rho_{\text{mar}}^S = \rho_r\cdot \rho_{\ce{H2O}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.025\cdot 10^3\ kg\cdot m^{-3}}}

El módulo de elasticidad se define como el cociente entre la variación de la presión a la que es sometido un sistema y la variación de volumen que experimenta, entre su volumen inicial. La ecuación es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = \frac{\Delta P}{\Delta V /V}\ \ (Ec\ 1)}}

Si expresas la masa como el producto de la densidad del sistema por el volumen que ocupa y derivas la expresión:

dm = d(\rho\cdot V) = V\cdot d\rho + \rho\cdot dV

Como la masa del sistema permanece constante, su variación es nula y puedes reescribir la ecuación anterior como:

V\cdot d\rho = -\rho\cdot dV\ \to\ -\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dV}{V}

Si la variación es grande puedes escribir la ecuación como incrementos en lugar de diferenciales:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{-\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta V}{V}}}

Si sustituyes ahora en la (Ec 1) esta igualdad que acabas de obtener, puedes escribir el módulo de elasticidad en función de la densidad en la superficie y de la variación de la densidad:

E_{\ce{H2O}} = \frac{-\Delta P}{-\Delta \rho/\rho}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_{\ce{H2O}} = \rho\cdot \frac{\Delta P}{\Delta \rho}}}

Solo tienes que despejar y calcular la variación de densidad que sufre el agua en el fondo, eso sí, cuidando de que las unidades estén en el Sistema Internacional y usando la aproximación de que una atmósfera equivale a cien mil pascales:

\Delta \rho = \Delta P\cdot \frac{\rho_{mar}^S}{E_{\ce{H2O}}} = (500 - 1)\ \cancel{atm}\cdot \frac{10^5\ \cancel{Pa}}{1\ \cancel{atm}}\cdot \frac{1.025\cdot 10^3\ kg\cdot m^{-3}}{2.2\cdot 10^9\ \cancel{Pa}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{23.25\ kg\cdot m^{-3}}}

La densidad en el fondo del mar será:

\rho_{mar}^F = \rho_{mar}^S + \Delta \rho = (1.025\cdot 10^3 + 23.25)\ kg\cdot m^{-3} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.048\cdot 10^3\ kg\cdot m^{-3}}}}


La variación que se produce es mínima y eso se debe a que el agua es un líquido y es incompresible.

b) El peso de un metro cúbico lo puedes escribir en función del volumen y la densidad del agua a esa profundidad:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p = m\cdot g = \rho_{\text{mar}}^F\cdot V\cdot g}}

Solo te queda sustituir en la ecuación:

p = 1.048\cdot 10^{3}\ kg\cdot \cancel{m^{-3}}\cdot 1\ \cancel{m^{3}}\cdot 9.8\ m\cdot s^{-2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.027\cdot 10^4\ N}}}