Velocidad angular de una barra homogénea cuando impacta una pelota sobre ella (7281)

, por F_y_Q

Una barra metálica delgada y uniforme, de 2.00 m de longitud y con un peso de 90.0 N, cuelga verticalmente del techo en un pivote sin fricción colocado en el extremo superior. De repente, una pelota de 3.00 kg, que viaja inicialmente a 10.0 m/s en dirección horizontal, golpea la barra 1.50 m abajo del techo. La pelota rebota en dirección opuesta con rapidez de 6.00 m/s. Calcula la rapidez angular de la barra inmediatamente después del choque.

P.-S.

Como el enunciado no dice nada de degradación de energía, debes considerar que el momento angular del sistema permanece constante, es decir, el momento angular de la pelota cuando colisiona con la barra ha de ser igual a la suma del momento angular de la barra y el momento angular de la pelota cuando rebota:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{L_i = L_b + L^{\prime}_p}}

El momento angular de la pelota, que no cambia su dirección y solo cambia de sentido, es el producto del momento lineal de la pelota por la distancia al eje de rotación de la barra a la que la golpea, mientras que para la barra, el momento angular es el producto del momento de inercia por la velocidad angular que adquiere:

m_p\cdot v_i\cdot d = I\cdot \omega + m_p\cdot v_f\cdot d

En este paso debes tener cuidado con el signo de la velocidad de la pelota. Si la velocidad inicial la consideras positiva, debes considerar la velocidad final negativa porque tiene sentido contrario. Si despejas el valor de la velocidad angular:

\frac{m_p\cdot d(v_i - v_f)}{I} = \omega

Es necesario que recuerdes que el momento de inercia de una barra homogénea de longitud l es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \frac{1}{3}\cdot M\cdot l^2}}

La ecuación de la velocidad angular queda como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{3m_p\cdot d(v_i - v_f)}{M\cdot l^2}}}

La distancia al eje de rotación a la que golpea a la barra es de 1.5 m, mientras que la longitud de la barra es de 2.0 m. Cuidado con la masa de la barra porque la debes obtener a partir del peso:

p = M\cdot g\ \to\ M = \frac{p}{g} = \frac{90\ N}{9.8\ \frac{m}{s^2}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.2\ kg}

Sustituyes y calculas la velocidad angular:

\omega = \frac{3\cdot 3\ \cancel{kg}\cdot 1.5\ \cancel{m}\ (10 + 6)\ \frac{\cancel{m}}{s}}{9.2\ \cancel{kg}\cdot 2^2\ \cancel{m^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.87\ s^{-1}}}}