Velocidad, componentes de la aceleración y radio de curvatura a partir de vector de posición (7065)

, por F_y_Q

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Una mosca tiene el vector de posición \vec r(t) = (3t-1)^2\ \vec i + t^3\ \vec j . Calcula:

a) El vector velocidad instantánea y el vector aceleración instantánea para t = 5 s.

b) Los módulos de la aceleración tangencial y normal para t = 2 s.

c) El radio de curvatura para t = 2 s y la ecuación de la trayectoria.

P.-S.

a) Aplicas las definiciones de velocidad y aceleración instantáneas y sustituyes por el valor t = 5 s:

\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = (18t - 6)\ \vec i + 3t^2\ \vec j\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec v_5 = 84\ \vec i + 75\ \vec j}}}


\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = 18\ \vec i + 6t\ \vec j\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec a_5 = 18\ \vec i + 30\ \vec j}}}


b) Calculas las componentes de la velocidad y aceleración para t = 2 s:

\left \vec v_x = 30\ \vec i \atop \vec v_y = 12\ \vec j \right \}\ \to\ \left \vec a_x = 18\ \vec i \atop \vec a_y = 12\ \vec j \right \}

Si representas los vectores aceleración y velocidad obtienes un esquema como el siguiente:


Si clicas en la miniatura puedes ver el esquema con más detalle.

El ángulo que hay entre ambos vectores es:

\theta = arctg\ \frac{12}{18} - arctg\ \frac{12}{30}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\theta = 11.9^0}}

Los módulos de las componentes intrínsecas los obtienes a partir de las ecuaciones:

\color[RGB]{2,112,20}{\bf \left a_t = a\cdot cos\ \theta \atop a_n = a\cdot sen\ \theta \right \}}

El módulo de la aceleración para t = 2 s es:

a_2 = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(18^2 + 12^2)\ \frac{m^2}{s^4}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{21.6\ \frac{m}{s^2}}}

Los valores de las componentes de la aceleración son:

a_t = 21.6\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 11.9\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_t = 21.1\ \frac{m}{s^2}}}}


a_n = 21.6\ \frac{m}{s^2}\cdot sen\ 11.9\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_n = 4.45\ \frac{m}{s^2}}}}


c) El radio de curvatura lo obtienes a partir de la ecuación de la aceleración normal:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{a_n = \frac{v^2}{R}}}

El valor de la velocidad para t = 2 s lo obtienes sustituyendo en el vector velocidad del apartado a). Despejas el valor de R y calculas:

R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{1\ 044\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{4.45\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 234.6\ m}}


La ecuación paramétrica de la trayectoria la obtienes a partir del vector de posición:

\color[RGB]{192,0,0}{\bf \left x = (3t - 1)^2 \atop y = t^3 \right \}}

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