Velocidad media de un tren que se mueve en distintas direcciones (5970)

, por F_y_Q

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Un tren se mueve con una rapidez casi constante de 60\ \textstyle{km\over h} dirigiéndose al este durante 40 min y después en una dirección de 45 ^o desde el este al norte durante 20 min y, por último, hacia el oeste durante 50 min. ¿Cuál es la velocidad media del tren durante el recorrido?

P.-S.

Para poder calcular la velocidad media del tren es necesario conocer el desplazamiento que ha sufrido. La velocidad es una magnitud vectorial que se define como el cociente del desplazamiento entre el tiempo, que no es lo mismo que la celeridad media, que es el cociente entre la distancia sobre la trayectoria y el tiempo. Calculamos la posición del tren tras cada uno de los movimientos:

\vec r_1 = 60\frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot 40\ \cancel{min}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{60\ \cancel{min}} = 40\ \vec i\ (km)

\vec r_2 = 60\frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot 20\ \cancel{min}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{60\ \cancel{min}}\cdot (sen\ 45\ \vec i + cos\ 45\ \vec j) = 14.14\ \vec i + 14.14\ \vec j\ (km)

\vec r_3 = 60\frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot 50\ \cancel{min}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{60\ \cancel{min}} = - 50\ \vec i\ (km)

Consideramos la referencia al inicio del movimiento, por lo que el vector de la posición inicial es \vec r_0 = 0 y la posición final será la suma de las tres posiciones calculadas:

\vec r_f = \vec r_1 + \vec r_2 + \vec r_3 = 4.14\ \vec i + 14.14\ \vec j

La velocidad media es:

\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{t} = \frac{(4.14\ \vec i + 14.14\ \vec j)\ (km)}{1.83\ h} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.28\ \vec i + 7.73\ \vec j\ (\textstyle{km\over h})}}}


El módulo de la velocidad media es:

v_m = \sqrt{4.14^2 + 14.14^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8.06\ \frac{km}{h}}}}