Velocidad, rapidez y posición de una partícula a partir de su aceleración

, por F_y_Q

En t = 0, una partícula parte del reposo en x = 5 m e y = 8 m, y se mueve en el plano XY con una aceleración de \vec a = 3\ \vec i - 8\ \vec j\ (\textstyle{m\over s^2}). Determina:

a) Las componentes X e Y de la velocidad en t = 4 s.

b) La rapidez de la partícula en t = 4 s.

c) La posición de la partícula en t = 8 s.


SOLUCIÓN:

La posición inicial de la partícula puede ser escrita en forma de un vector de posición como \vec r_0 = 5\ \vec i + 8\ \vec j.
a) Las componentes de la velocidad se obtiene a partir de la definición de la aceleración. Hay que integrar la aceleración:
\vec a = \frac{d\vec v}{dt}\ \to\ \int_0^f dv = \int_0^t \vec a\cdot dt\ \to\ \vec v = 3t\ \vec i - 8t\ \vec j
Las componentes las obtenemos al sustituir por el valor t = 4 s:

\vec v_x = 3\frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 4\ \cancel{s}\ \vec i = \bf 12\ \vec i\ (\frac{m}{s})


\vec v_y = - 8\frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 4\ \cancel{s}\ \vec j = \bf - 32\ \vec j\ (\frac{m}{s})


La rapidez de la partícula la obtenemos haciendo el módulo de la velocidad que hemos obtenido para t = 4s:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{[12^2 + (-32)^2]\frac{m^2}{s^2}} = \bf 34.2\ \frac{m}{s}


c) La posición de la partícula la obtenemos si integramos a partir de la definición de la velocidad, de manera análoga a lo que hicimos en el apartado a), teniendo en cuenta que al integrar obtenemos el valor de \vec r_0 que debemos considerar:
\vec v = \frac{d\vec r}{dt}\ \to\ \int_0^f dr = \int_0^t \vec v\cdot dt\ \to\ \vec r = (5 + \frac{3}{2}t^2)\ \vec i + (8 - 4t^2)\ \vec j
Solo nos queda sustituir por el valor t = 8 s:

\vec r = (5\ m + 1.5\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 64\ \cancel{s^2})\ \vec i + (8 - 4\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 64\ \cancel{s^2})\ \vec j = \bf 101\ \vec i - 248\ \vec j\ (m)