Velocidad, rapidez y posición de una partícula a partir de su aceleración (6025)

, por F_y_Q

|

En t = 0, una partícula parte del reposo en x = 5 m e y = 8 m, y se mueve en el plano XY con una aceleración de \vec{a} = 3\ \vec{i} - 8\ \vec{j}\ (\textstyle{m\cdot s^{-2}}). Determina:

a) Las componentes X e Y de la velocidad en t = 4 s.

b) La rapidez de la partícula en t = 4 s.

c) La posición de la partícula en t = 8 s.

P.-S.

La posición inicial de la partícula puedes escribirla en forma de un vector de posición como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{r}_0 = 5\ \vec{i} + 8\ \vec{j}}}

a) Las componentes de la velocidad las obtienes a partir de la definición de la aceleración. Para ello debes integrar la ecuación de la aceleración:

\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\ \to\ \int_0^f d\vec{v} = \int_0^t \vec{a}\cdot dt\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{v} = 3t\ \vec{i} - 8t\ \vec{j}}}

Las componentes las obtienes al sustituir por el valor t = 4 s:

\left \vec{v}_x = 3\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 4\ \cancel{s}\ \vec{i} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{12\ \vec i\ (m\cdot s^{-1})}}}} \atop \vec{v}_y = - 8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 4\ \cancel{s}\ \vec{j} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{- 32\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-1})}}}} \right \}


La rapidez de la partícula la obtienes haciendo el módulo de la velocidad que has obtenido para t = 4s:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{[12^2 + (-32)^2]\ m^2\cdot s^{-2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{34.2\ m\cdot s^{-1}}}}


c) La posición de la partícula la obtienes si integras a partir de la definición de la velocidad, de manera análoga a lo que hiciste en el primer apartado, teniendo en cuenta que al integrar obtienes el valor de \vec{r}_0 que debes considerar:

\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\ \to\ \int_0^f d\vec{r} = \int_0^t \vec{v}\cdot dt\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{r} = \left(5 + \frac{3}{2}t^2\right)\ \vec{i} + (8 - 4t^2)\ \vec{j}}}

Solo te queda sustituir por el valor t = 8 s:

\vec{r} = (5\ m + 1.5\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 64\ \cancel{s^2})\ \vec{i} + \left(8 - 4\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 64\ \cancel{s^2}\right)\ \vec{j} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{101\ \vec{i} - 248\ \vec{j}\ (m)}}}