Velocidad y aceleración de un sistema a partir de la ecuación de posición

, por F_y_Q

La posición de una partícula en función del tiempo está dada por la ecuación x(t) = \textstyle{1\over 4}x_0\cdot e^{3\alpha t}, donde \alpha es una constante positiva.

a) ¿En qué instante la posición de la partícula es 2x_0?

b) ¿Cuál es la rapidez de la partícula en función del tiempo?

c) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de la partícula en función del tiempo?

d) ¿Qué unidades SI tiene \alpha?


SOLUCIÓN:

a) Sustituimos x(t) por el valor dado y despejamos el tiempo. Es necesario tomar logaritmo neperiano para despejar:

2\cancel{x_0} = \frac{1}{4}\cancel{x_0}\cdot e^{3\alpha t}\ \to\ 8 = e^{3\alpha t}\ \to\ t = \bf \frac{ln\ 8}{3\alpha}


b) Derivamos la ecuación de la posición con respecto al tiempo para obtener la velocidad:

v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{x_0}{4}\cdot e^{3\alpha t}\right)\ \to\ \bf v(t) = \frac{3\alpha\cdot x_0}{4}\cdot e^{3\alpha t}


c) La aceleración se obtiene al derivar la ecuación de la velocidad obtenida en el apartado anterior con respecto al tiempo:

a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3\alpha\cdot x_0}{4}\cdot e^{3\alpha t}\right)\ \to\ \bf a(t) = \frac{9\alpha^2\cdot x_0}{4}\cdot e^{3\alpha t}


d) Analizando la ecuación de la posición, podemos concluir que la dimensión de \alpha ha de ser [T]^{-1} para que la parte exponencial sea adimensional. Esto quiere decir que la unidad SI de la constante es \bf s^{1}.