Velocidad y distancia del corazón usando un ECO doppler (7195)

, por F_y_Q

|

Un monitor que se emplea para observar los latidos del corazón, se encuentra en reposo y esta equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. Los pulsos que se recibe han sido reflejados por la superficie del corazón que esta directamente debajo y llegan al monitor con un retraso de 80\ \mu s y una frecuencia de 39.9580 MHz. Si la velocidad del sonido en el tejido sanguíneo es de 1.5 km/s, calcula:

a) La distancia a la que esta el corazón.

b) La velocidad con la que late el corazón.

P.-S.

a) La distancia a la que está el corazón la obtienes a partir de la velocidad del sonido en la sangre. Debes tener en cuenta que la distancia que tiene que recorrer el sonido es el doble de la distancia a la que se encuentra el corazón:

2d = v\cdot \Delta t\ \to\ d = \frac{v\cdot \Delta t}{2} = \frac{1.5\cdot 10^3\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 80\cdot 10^{-6}\ \cancel{s}}{2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6\cdot 10^{-2}\ m}}}


b) Es necesario aplicar el Efecto Doppler para poder determinar la velocidad de latido del corazón. Llama f_m a la frecuencia de los pulsos del monitor y f_c a la frecuencia los pulsos reflejados por el corazón. La velocidad del sonido en el medio es v y la velocidad del latido cardíaco es u. La ecuación es:

f_m = \left(\frac{v\pm u}{v}\right)\cdot f_c

La relación entre los pulsos enviados por el monitor y los reflejados por el corazón que recoge el monitor es:

f^{\prime}_m = \left(\frac{v\pm u}{v}\right)\cdot f_m

Si sustituyes la primera ecuación en la segunda, obtienes la ecuación:

f^{\prime}_m = \left(\frac{v\pm u}{v}\right)^2\cdot f_c

La velocidad a la que late el corazón es mucho menor que la velocidad del sonido en la sangre, por lo que puedes hacer una aproximación útil que simplifica la ecuación anterior:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{f^{\prime}_m = \left(1\pm \frac{2u}{v}\right)\cdot f_c}}

Si despejas u en la ecuación y sustituyes obtendrás el valor buscado:

u = \frac{v}{2}\left(1 - \frac{f^{\prime}}{f_c}\right) = \frac{1.5\cdot 10^3\ \frac{m}{s}}{2}\ \left(1 - \frac{39.958\ \cancel{MHz}}{40\ \cancel{MHz}}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{0.79\ \frac{m}{s}}}}