Velocidad y velocidad angular de una esfera que rueda por una rampa al llegar al suelo (6891)

, por F_y_Q

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Una esfera de radio r = 24.5 cm y masa m = 1.20 kg parte del reposo y rueda hacia abajo sin deslizamiento sobre una rampa con 30 ^o de inclinación que tiene 10.0 m de largo. Calcula las velocidades de traslación y rotación cuando llega a la parte inferior de la rampa.

El momento de inercia de una esfera sólida con respecto a un eje de rotación que pasa por su centro de masa es I_{CM} = \textstyle{2\over 5}\cdot m\cdot r^2 .

P.-S.

Al no considerar rozamientos en el problema, la energía mecánica de la esfera cuando llega al final de la rampa tiene que ser igual a la energía mecánica de la esfera cuando está en reposo en el punto más alto. La energía mecánica final tiene dos componentes: la traslacional y la rotacional. La ecuación que se verifica es:

E_C(t) + E_C(r) = E_P(i)


Si escribes cada una de esas energía en función de la masa y las velocidades de traslación y rotación obtienes:

\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 + \frac{1}{2}\cdot I_{CM}\cdot \omega^2 = m\cdot g\cdot h

La altura a la que se encuentra la esfera inicialmente puede ser expresada en función de la longitud del plano y su ángulo de incliación. La velocidad angular de la esfera se relaciona con la velocidad de traslación por la ecuación (v = \omega\cdot r), a la vez que puedes sustituir el valor del momento de inercia de la esfera en la ecuación:

\frac{\cancel{m}}{2}\cdot v^2 + \frac{1}{\cancel{2}}\Big[\frac{\cancel{2}}{5}\cdot \cancel{m}\cdot \cancel{r^2}\Big]\Big(\frac{v^2}{\cancel{r^2}}\Big) = \cancel{m}\cdot g\cdot L\cdot sen\ 30

Solo tienes que operar y despejar el valor de la velocidad de traslación:

7v^2 = 10\cdot g\cdot L\cdot sen\ 30\ \to\ v = \sqrt{\frac{10}{7}\cdot g\cdot L\cdot sen\ 30}

Sustituyes y calculas:

v = \sqrt{\frac{10\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 10\ m\cdot 0.5}{7}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8.37\ \frac{m}{s}}}}


La velocidad de rotación es:

\omega = \frac{v}{r} = \frac{8.37\ \frac{\cancel{m}}{s}}{0.245\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{34.2\ s^{-1}}}}