Distancia a la que debe colocarse un tenista para devolver una bola

, por F_y_Q

Un tenista golpea la bola a una altura de 1 m de modo que su velocidad inicial es v_0 = 14\ \textstyle{m\over s} con un ángulo de 45^o con respecto a la horizontal. El tenista golpea la bola con un efecto tal que, cuando la bola golpea el suelo al otro lado de la pista, la componente vertical de su velocidad se invierte mientras que la componente horizontal aumenta en un 30\%. ¿A qué distancia debería estar situado el tenista rival para golpear la bola, después de rebotar en el suelo, a una altura de 1,2 m mientras está ascendiendo?


SOLUCIÓN:

En este problema es esencial manejar bien las ecuaciones del movimiento parabólico e ir imponiendo condiciones a cada una de ellas. En primer lugar vamos a calcular las componentes vertical y horizontal de la velocidad inicial, que serán iguales porque el ángulo de la misma es de 45^o:
v_{0x} = v_0\cdot cos\ 45 = 9,9\ \frac{m}{s}\ \Longrightarrow\ v_{0y} = v_0\cdot sen\ 45 = 9,9\ \frac{m}{s}
Vamos a calcular el tiempo que tardará la bola en rebotar al otro lado de la pista, para así determinar el valor de la velocidad vertical tras el rebote. La condición que debemos imponer es que la componente vertical es cero:
\cancelto{0}{y} = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\ \to\ -4,9t^2 + 9,9t + 1 = 0
Al resolver la ecuación obtemos dos resultados pero el único con sentido físico es t = 2,12 s. Esto quiere decir que la bola tardará en rebotar ese tiempo, por lo que podemos saber qué valor tendrá la componente vertical en el momento del impacto:
v_y = v_{0y} - gt = 9,9\frac{m}{s} - 9,8\frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 2,12\ \cancel{s} = -10,88\ \frac{m}{s}
En este punto debemos considerar la componente vertical POSITIVA porque nos lo dice el enunciado: v_y = 10,88\ \frac{m}{s}. Además, la componente horizontal se verá aumentada un 30\%, por lo que tras el rebote, la velocidad horizontal será: v_x = 1,3\cdot v_{0x} = 1,3\cdot 9,9\frac{m}{s} = 12,87\ \frac{m}{s}
Como el rival debe golpear la bola a una altura de 1,2 m será esta la condición que debemos imponer tras el rebote. La ecuación es:
y = v_yt - \frac{g}{2}t^2\ \to\ 1,2 = 10,88t - 4,9t^2
Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior podremos saber el tiempo que tarda la bola en alcanzar esa altura tras el rebote. Se obtienen dos resultados pero el que nos interesa es t = 012 s porque es el tiempo en el que la velocidad es ASCENDENTE. Ya solo nos queda calcular el valor de la posición horizontal, que será donde deba situarse el rival:

x = v_x\cdot t = 12,87\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 0,12\ \cancel{s} = \bf 1,55\ m