Alcance de un proyectil que es disparado sobre un plano inclinado (7837)

, por F_y_Q

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Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s, que forma un ángulo de 60 ^o con la horizontal, contra un plano inclinado que forma 30 ^o con la horizontal. Calcula el alcance, expresado en metros, sobre el plano inclinado.

Considera: g = 10\ \textstyle{m\over s}

P.-S.

Lo más acertado es hacer un esquema de la situación que describe el enunciado para tener claro qué debemos calcular:


Debes calcular la distancia d cuando el proyectil impacte en el lugar que está señalado con la estrella violeta.
La tangente del ángulo del plano inclinado será cociente entre la altura que tenga el proyectil cuando impacte y la distancia que habrá recorrido sobre el eje X:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{tg\ 30^o = {\frac{h_y}{d_x}}}}}\ \ Ec.(1)

A partir de las ecuaciones de la posición del proyectil, dado que es un lanzamiento oblicuo, son:

\left d_x = v_0\cdot sen\ 60^o\cdot t \atop h_y = v_0\cdot cos\ 60^o\cdot t - \dfrac{g}{2}\cdot t^2 \right \}

Si despejas la distancia sobre el eje X en la Ec. (1) y sustituyes en el sistema de ecuaciones, puedes reescribirlo como:

\left h_y = v_0\cdot cos\ 60^o\cdot tg\ 30^o\cdot t \atop h_y = v_0\cdot sen\ 60^o\cdot t - 5\cdot t^2 \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \frac{v_0(sen\ 60^o - cos\ 60^o\cdot tg\ 30^o)}{5}}}}

Sustituyes en la ecuación y obtienes el tiempo de impacto:

t = \frac{10\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{5\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{\sqrt{3}}{2}}}

Ahora puedes calcular la posición en la que impacta sobre el plano (y):

y = 10\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot sen\ 60^o\cdot 0.866\ \cancel{s} - 5\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 0.866^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 3.75\ m}

La distancia que habrá recorrido sobre el plano (d) es:

d = \frac{h}{tg\ 30^o} = \frac{3.75\ m}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 6.5\ m}}

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