Dos cuerpos que se lanzan a la vez, uno vertical y otro oblicuo

, por F_y_Q

Dos cuerpos se lanzan simultáneamente desde un mismo punto: uno verticalmente hacia arriba, y otro formando un ángulo \alpha = 60^o con la horizontal. La velocidad inicial de ambos cuerpos es v_0 = 25\ \textstyle{m\over s}.

a) Hallar la distancia entre los cuerpos a los 1,7 s.

b) Hallar la distancia entre ellos en el momento en el que los vectores de sus velocidades sean mutuamente perpendiculares.


SOLUCIÓN:

La velocidad del cuerpo 1 es perpendicular en todo momento, porque es un lanzamiento vertical. El cuerpo 2 sigue un lanzamiento oblicuo. Escribimos las ecuaciones de la velocidad y la posición de cada cuerpo en cada una sus direcciones:
Cuerpo 1:
Velocidad: \vec v_1 = (v_{01} - gt)\ \vec j
Posición: \vec s_1 = \left(v_{01}\cdot t - \frac{g}{2}\cdot t^2\right)\ \vec j
Cuerpo 2:
Velocidad: \vec v_{2x} = (v_{02}\cdot cos\ 60)\ \vec i
\vec v_{2y} = (v_{02}\cdot sen\ 60 - gt)\ \vec j
Posición: \vec s_{2x} = (v_{02}\cdot t\cdot cos\ 60)\ \vec i
\vec s_{2y} = \left(v_{02}\cdot t\cdot sen\ 60 - \frac{g}{2}\cdot t^2\right)\ \vec j
a) Calculamos las posiciones de los dos cuerpos para t = 1,7 s:
\vec s_1 = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1,7\ \cancel{s} - \frac{9,8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1,7^2\ \cancel{s^2} = 28,3\ \vec j\ (m)
\vec s_{2x} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1,7\ \cancel{s}\cdot cos\ 60 = 21,25\ \vec i\ (m)
\vec s_{2y} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1,7\ \cancel{s}\cdot sen\ 60 - \frac{9,8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1,7^2\ \cancel{s^2} = 22,6\ \vec j\ (m)
La distancia que separa ambos cuerpos la calculamos haciendo la diferencia entre las posiciones vertical y horizontal de cada cuerpo:

d = \sqrt{(28,3 - 22,6)^2 + 21,2^2} = \bf 21,9\ m


b) Las velocidad de ambos cuerpos serán perpendiculares entre sí cuando la componente y de la velocidad del cuerpo 2 sea cero:
v_{2y} = 0 = v_{02}\cdot sen\ 60 - gt\ \to\ t = \frac{25\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}\cdot sen\ 60}{9,8\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = 2,2\ s
Ahora hacemos los mismos que en el apartado anterior para el tiempo que acabamos de calcular:
\vec s_1 = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2,2\ \cancel{s} - \frac{9,8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2,2^2\ \cancel{s^2} = 31,3\ \vec j\ (m)
\vec s_{2x} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2,2\ \cancel{s}\cdot cos\ 60 = 27,5\ \vec i\ (m)
\vec s_{2y} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2,2\ \cancel{s}\cdot sen\ 60 - \frac{9,8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2,2^2\ \cancel{s^2} = 23,9\ \vec j\ (m)
La distancia que separa ambos cuerpos la calculamos haciendo la diferencia entre las posiciones vertical y horizontal de cada cuerpo:

d = \sqrt{(31,3 - 23,9)^2 + 27,5^2} = \bf 28,5\ m