Paloma que suelta un mensaje sobre un hombre que camina a velocidad constante

, por F_y_Q

Una paloma mensajera vuela con velocidad constante de 30\ \textstyle{m\over s} y horizontalmente. En un instante detecta a su objetivo que se encuentra a 100 m de distancia horizontal, y según su experiencia, deja caer el mensaje, que va en una esfera de metal perfectamente sellada. Si el objetivo, que es un señor que recepcionará el mensaje, camina hacia la derecha a 10\ \textstyle{m\over s} sobre el suelo, encuentra:

a) El tiempo en que el mensaje toca el talón de la persona.

b) La distancia horizontal recorrida por el señor receptor desde que se soltó el mensaje.

c) La velocidad final con la cual la esfera golpeará el talón del hombre.

d) La distancia a la que se encuentra la paloma del suelo.


SOLUCIÓN:

Debemos escribir las ecuaciones de la posición de la paloma y el hombre. Si tomamos de referencia el punto en el que la paloma deja caer la esfera, y teniendo en cuenta que la esfera sigue un lanzamiento horizontal mientras que el hombre sigue un MRU:
Paloma:
x_p = 30t
y_p = 4,9t^2
Hombre:
x_h = 100 + 10t
a) Para saber el tiempo que tarda el mensaje en alcancar al hombre vamos a igualar las posiciones de ambos:

x_h = x_p\ \to\ 10t + 100 = 30t\ \to\ 20t = 100\ \to\ t_c = \frac{100\ \cancel{m}}{10\frac{\cancel{m}}{s}} = \bf 5\ s


b) Si solo queremos conocer la distancia que recorre el hombre en el tiempo calculado, no debemos tener en cuenta la posición inicial con respecto a la paloma. La ecuación sería entonces:

x_h = 10t = 10\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 5\ \cancel{s} = \bf 50\ m


c) La velocidad con la que la esfera llega al suelo la obtenemos a partir de las ecuaciones de la velocidad de la esfera en cada eje:
v_{xe} = 30
v_{ye} = 9,8t\ \to\ v_{ye} = 9,8\frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 5\ \cancel{s} = 49\frac{m}{s}
La velocidad será:

v = \sqrt{v_{xe}^2 + v_{ye}^2} = \sqrt{(30^2 + 49^2)\frac{m^2}{s^2}} = \bf 57,4\ \frac{m}{s}


d) Calculamos la altura a la que se encuentra la paloma:

y_{p} = 4,9t_c = 4,9\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 5^2\ \cancel{s^2} = \bf 122,5\ m