Aceleración de un conjunto de dos cuerpos enlazados con rozamiento

, por F_y_Q

La imagen presenta dos masas m_1 = 2,60\cdot 10^3\ g y m_2 = 5,03\cdot 10^3\ g unidas por una cuerda que pasa por una polea sin fricción y masa despreciable. La masa m_1 se encuentra sobre una superficie rugosa.

a) Realiza un diagrama de fuerzas para cada masa.

b) Expresa la aceleración del sistema en términos de las masas y el coeficiente de fricción cinética \mu_k.

c) Halla el valor de la aceleración, tomando como valor \mu_k = 0,230.

d) Si el bloque m_1 se encuentra a una distancia x = 0,961 m, ¿cuánto tardará en llegar a la esquina de la mesa?

e) ¿Cuál debería ser la masa mínima de m_1 para que el sistema quede en reposo? Toma el valor del coeficiente de fricción estático como \mu_s = 0,230.


SOLUCIÓN:

a) El diagrama del cuerpo libre para cada masa es:

b) Aplicando la segunda ley de la Dinámica al sistema, teniendo en cuenta solo las fuerzas que está en la dirección del movimiento:
\vec p_2 - \cancel{\vec T} + \cancel{\vec T} - \vec F_R = m_T\cdot a
Reescribimos la ecuación en función de las masas y del coeficiente de rozamiento:
m_2\cdot g - \mu_k\cdot m_1\cdot g = (m_1 + m_2)\cdot a
Solo tenemos que despejar el valor de la aceleración para obtener la ecuación que debemos dar como respuesta:

\bf a = \frac{m_2 - \mu_K\cdot m_1}{(m_1 + m_2)}\cdot g


c) Sustituimos por los valores dados y obtenemos el valor de la aceleración:

a = \frac{(5,03 - 0,23\cdot 2,6)\ \cancel{kg}}{(2,6 + 5,03)\ \cancel{kg}}\cdot 9,8\frac{m}{s^2} = \bf 5,69\ \frac{m}{s^2}


d) Si el bloque de masa m_1 parte del reposo y está sometido a la aceleración que hemos calculado, el tiempo para recorrer la distancia x será:

d = \cancelto{0}{v_0}\cdot t - \frac{a}{2}\cdot t^2\ \to\ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot 0,961\ \cancel{m}}{5,69\frac{\cancel{m}}{s^2}}} = \bf 0,581\ s


e) A partir de la ecuación que obtuvimos en el apartado b) podemos hacer cero la aceleración, para que esté en reposo, y calcular el valor de la masa m_1:

m_2\cdot g - \mu_s\cdot m_1\cdot g = 0\ \to\ m_1 = \frac{m_2}{\mu_s} = \frac{5,03\ kg}{0,23} = \bf 21,9\ kg