Aceleración mínima de dos vehículos para que no choquen (6718)

, por F_y_Q

Dos móviles se encuentran inicialmente separados por una distancia F. El móvil 1 se mueve de izquierda a derecha con una rapidez inicial de 20 m/s y una aceleración de frenado desconocida. El móvil 2 sale 1.5 s más tarde, de derecha a izquierda, con rapidez inicial de 15 m/s y una aceleración de frenado desconocida pero igual en modulo a la del móvil 1:

a) Realiza el esquema de la situación indicando el sistema de referencia utilizado y dibuja los vectores velocidad y aceleración correspondientes.

b) Calcula el valor de aceleración mínimo que deben tener los móviles para que no se produzca el choque, de forma que logren detenerse justo al llegar al encuentro.

c) Calcula el valor de la distancia F para esa situación extrema.


SOLUCIÓN:

a) Si clicas en la miniatura podrás ver el esquema con más detalle.


b) La condición que debes imponer al sistema es que la velocidad de ambos vehículos sea CERO cuando se encuentren. Como ambos siguen un MRUA, las ecuaciones de sus velocidades, siendo coherentes con el criterio de signos elegido, son:

\left
v_1 = v_{0_1} - at \atop
v_2 = - v_{0_2} + a(t - 1.5)
\right \}\ \to\ 
\left
0 = 20 - at\ \to\ a = \frac{20}{t} \atop
0 = -15 + a(t - 1.5)\ \to\ a = \frac{15}{t - 1.5}
\right \}

Como ambas aceleraciones son iguales en módulo solo tienes que igualar ambas ecuaciones y encontrar el tiempo durante el que circulará el vehículo de la izquierda:

\frac{20}{t} = \frac{15}{t - 1.5}\ \to\ 20t - 30 = 15t\ \to\ 5t = 30\ to\ t = \frac{30\m}{5\ \frac{m}{s}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 6\ s}

La aceleración mínima para evitar la colisión será:

a = \frac{20\ \frac{m}{s}}{6\ s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.33\ \frac{m}{s^2}}}}

c) El valor de la distancia F que separa ambos vehículos será la suma de las distancias que recorre cada uno de ellos. Para ello debes considerar el valor absoluto de sus posiciones, que siguen las ecuaciones:

\left
x_1 = v_{0_1}t - \frac{a}{2}t^2 \atop
x_2 = v_{0_2}(t - 1.5) + \frac{a}{2}(t - 1.5)^2
\right \}

Si sustituyes los valores conocidos, obtienes:

\left
x_1 = 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 6\ \cancel{s} - \frac{3.33}{2}\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 6^2\ \cancel{s^2} = 60\ m \atop
x_2 = -15\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 4.5\ \cancel{s} + \frac{3.33}{2}\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 4.5^2\ \cancel{s^2} = - 33.8\ m
\right \}\ \to\ F = x_1 + |x_2| = (60 + 33.8)\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 93.8\ m}}}