Alcance máximo y velocidad final de un proyectil lanzado desde un acantilado (5795)

, por F_y_Q

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Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 \ \textstyle{m\over s} a un ángulo de 37 ^o con la horizontal:

a) Calcula el alcance del proyectil.

b) Calcula el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado.

c) Calcula la rapidez y la dirección de la velocidad final.

P.-S.

Descompones la velocidad inicial del lanzamiento en las componentes horizontal y vertical:

\left v_{x0} = v_0\cdot cos\ 37^o = 100\cdot cos\ 37^o = 79.9\ \frac{m}{s} \atop v_{y0} = v_0\cdot sen\ 37^o = 100\cdot sen\ 37^o = 60.2\ \frac{m}{s} \right \}

En la dirección horizontal el proyectil sigue un movimiento uniforme por lo que su velocidad es constante y su posición viene dada por la ecuación:

x = v_{0x}\cdot t = 79.9t

En la dirección vertical, al existir la aceleración gravitatoria, el movimiento es un movimiento uniformemente acelerado y sus ecuaciones de velocidad y posición son:

\left v_y = v_{0y} - gt = 60.2 - 9.8t \atop y = 140 + 60.2t - 4.9t^2 \right

a) Para poder calcular la distancia o alcance debes conocer el tiempo durante el que el proyectil estará en el aire. Para ello vas a considerar que la posición del proyectil sea cero, es decir, que esté en el suelo:

0 = 140 + 60.2t - 4.9t^2\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{t_1 = 14.3\ s}}

Esto quiere decir que el proyectil está en vuelo durante 14.3 s, por lo que la distancia que recorrerá en dirección horizontal será:

x_{m\acute{a}x} = 79.9\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 14.3\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ 143\ m}}


b) Para saber el tiempo que tarda el proyectil en volver al nivel del lanzamiento impones la condición de que la altura sea 140 m y resuelves la ecuación:

\cancel{140} = \cancel{140} + 60.2t - 4.9t^2\ \to\ t = \frac{60.2\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{4.9\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 12.3\ s}}


c) La rapidez final la obtienes al averiguar la componente vertical de la velocidad y hacer el módulo:

v_y = 60.2\ \frac{m}{s} - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 14.3\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{- 79.8\ \frac{m}{s}}}

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(79.9^2 + 79.8^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{113\ \frac{m}{s}}}}


La dirección la puedes determinar averiguando el ángulo que forma la velocidad con la horizontal, por ejemplo. Si lo haces así:

tg\ \alpha = \frac{v_y}{v_x}\ \to\ \alpha = arctg\ \frac{-79.8\ \cancel{\frac{m}{s}}}{79.9\ \cancel{\frac{m}{s}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf - 45^o}}

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