Análisis de la velocidad de un proyectil lanzado parabólicamente (7043)

, por F_y_Q

Se dispara un proyectil con una velocidad de 300\ \textstyle{m\over s} y una inclinación de 60 ^o con respecto a la horizontal. Calcula:

a) La velocidad del proyectil en el punto más alto de la trayectoria.

b) El ángulo entre la velocidad y la aceleración 6.0 s tras el lanzamiento.

c) El módulo de la velocidad cuando está a 400 m de altura.


SOLUCIÓN:

Si descompones la velocidad inicial en las componentes horizontal y vertical:

\left \vec v_{0x} = 300\cdot cos\ 60 = 150\ \vec i \atop \vec v_{0y} = 300\cdot sen\ 60 = 260\ \vec j \right \}

Las ecuaciones de la velocidad del proyectil, considerando que la aceleración presente es la de la gravedad, son:

\left \vec v_x = 150\ \vec i \atop \vec v_y = (260 - 9.8t)\ \vec j \right \}

a) Cuando el proyectil está en el punto más alto, la componente vertical de la velocidad es nula, por lo que la velocidad será igual a la componente horizontal, que es constante:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v\ (h_{m\acute{a}x}) = 150\ \frac{m}{s}}}}


b) A los 6 s del lanzamiento, la componente vertical es:

v_y = 260\ \frac{m}{s} - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 6\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{201\ \frac{m}{s}}}

El ángulo que forma la velocidad con la aceleración, que es vertical, es:

\theta = arctg\ \frac{v_x}{v_y} = arctg\ \frac{150}{201} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 36.7^o}}


Las ecuaciones de la posición del proyectil son:

\left \vec x = 150t\ \vec i \atop \vec y = (260t - 4.9t^2)\ \vec j \right \}

Si impones la condición de los 400 m de altura obtienes una ecuación de segundo grado que, al resolverla, te da dos valores de tiempo:

4.9t^2 - 260t + 400 = 0\ \to\  \left t_1 = 1.59\ s \atop t_2 = 51.5\ s \right \}

Sustituyes cualquiera de los valores para la componente vertical:

v_y = 260\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.59\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.59^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{244\ \frac{m}{s}}}

El módulo de la velocidad es:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(150^2 + 244^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{286\ \frac{m}{s}}}}

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