Análisis de un objeto que se lanza con un ángulo y velocidad inicial (5158)

, por F_y_Q

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Se lanza un proyectil formando cierto ángulo \alpha con la horizontal, con una velocidad inicial de 60 m/s. Si la magnitud de la componente vertical de la velocidad inicial es 40 m/s, calcula:

a) El valor del ángulo \alpha.

b) La velocidad del proyectil en función del tiempo.

c) La altura máxima alcanzada.

d) El alcance horizontal.

P.-S.

a) El ángulo de lanzamiento se puede obtener a partir de los valores de velocidad inicial y velocidad inicial en el eje y:

v_{oy} = v_0\sen \alpha\ \to\ sen\ \alpha = \frac{v_{oy}}{v_0} = \frac{40}{60}\ \to\ \alpha = arcsen\ \frac{2}{3} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 41.8^o}}


b) La ecuación de la velocidad con respecto al tiempo es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec v (t) = \vec v_{0x}\vec i + (v_{0y} - gt)\vec j}}

Sustituyes los datos y calculas:

\vec{v} (t) = (60\cdot cos\ 41.8)\vec i + (60\cdot sen\ 41.8 - 9.8t)\vec j = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{44.73\vec i + (40 - 9.8t)\vec j\ (m\cdot s^{-1})}}}


c) La altura máxima se obtiene a partir del tiempo de subida el proyectil:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_y = v_{0y} - g\cdot t_s}}

Cuando el proyectil esté en su punto más alto la componente vertical de la velocidad será nula:

t_s = \frac{v_{0y} - v_0}{g} = \frac{40\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 4.08\ s}

Sustituyes el tiempo calculado en la ecuación de la posicion:

y_{max} = v_{0y}\cdot t_s - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 40\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 4.08\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 4.08^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 81.6\ m}}


d) El alcance, en función del ángulo de lanzamiento, es:

x_{max} = \frac{v_0^2}{g}\cdot sen\ 2\alpha = \frac{60^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}}\sen\ (2\cdot 41.8)^o = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 365.1\ m}}

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