Análisis del lanzamiento parabólico de una piedra

, por F_y_Q

Se lanza una piedra con una velocidad inicial de 34\ \textstyle{m\over s} formando un ángulo de 57^o con la horizontal. Determina:

a) ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo?

b) ¿Cuál será su rapidez al llegar al suelo?

c) El recorrido horizontal para llegar al suelo.

d) ¿Cuáles serán las coordenadas de su punto de máxima altura?


SOLUCIÓN:

En primer lugar vamos a escribir las ecuaciones para la velocidad en cada una de las direcciones del plano y luego las ecuaciones de la posición. A partir de esas ecuaciones podremos responder a cada uno de los apartados.
Ecuaciones de la velocidad. En el eje X la velocidad es constante y en el eje Y varía porque está sometida a la aceleración de la gravedad:
v_x = v_0\cdot cos\ 57^o = 34\cdot cos\ 57^o = 18.52
v_y = v_0\cdot sen\ 57^0 - gt = 34\cdot sen\ 57^o - 9.8t = 28.51 - 9.8t
Ecuaciones de la posición. Solo tenemos que seguir con el tipo de movimiento de cada eje:
x = v_x\cdot t = 18.52t
y = v_{0y}t - \frac{g}{2}t^2 = 28.51t - 4.9t^2
a) El tiempo que tarda en regresar al suelo lo podemos obtener imponiendo la condición de que la posición en el eje Y sea cero y resolviendo la ecuación:
0 = t(28.51 - 4.9t)
La ecuación se cumple cuando t = 0 o cuando (28.51 - 4.9t) = 0. La primera solución es trivial y hace referencia al momento del lanzamiento, por lo que buscamos el valor de "t" para la otra condición:

t = \frac{28.51\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{4.9\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \bf 5.82\ s


b) Su velocidad al llegar al suelo tiene que ser la misma que la velocidad con la que fue lanzado. Esto se deduce porque no hay rozamiento y se tiene que conservar la energía. Aún así, se puede comprobar a partir de un razonamiento cinemático. Calculamos los valores de v_x y v_y para el tiempo anterior. Hay que tener en cuenta que v_x es constante, por lo que no es necesario calcular nada:
v_y = 28.51\frac{m}{s} - 9.8\frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = -28.53\ \frac{m}{s}
La rapidez será el módulo de la velocidad:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{[18.52^2 + (-28.53)^2]\frac{m^2}{s^2}} = \bf 34\ \frac{m}{s}


c) El alcance de la piedra se obtiene sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación de la posición del eje X:

x = 18.52\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = \bf 107.8\ m


d) Cuando la piedra alcance la máxima altura, su altura en el eje Y será cero. A partir de ahí podemos calcular el tiempo de subida de la piedra y obtener la posición en ambos ejes. El tiempo de subida, dado que es un movimiento simétrico, es la mitad del tiempo de vuelo (t_s = 2.91\ s). De todos modos lo calculamos con la condición de que v_y = 0:
0 = 28.51 - 9.8t_s\ \to\ t_s = \frac{28.51\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = 2.91\ s
Con este tiempo calculamos las posiciones horizontal y vertical y damos las coordenadas:
x = 18.52\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} = 53.9\ m
y = 28.51\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} - 4.9\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2.91^2\ \cancel{s^2} = 41.5\ m
Las coordenadas que nos solicitan son: h (53.9, 41.5).