P.-S.
En primer lugar vamos a escribir las ecuaciones para la velocidad en cada una de las direcciones del plano y luego las ecuaciones de la posición. A partir de esas ecuaciones podremos responder a cada uno de los apartados.
Ecuaciones de la velocidad. En el eje X la velocidad es constante y en el eje Y varía porque está sometida a la aceleración de la gravedad:
Ecuaciones de la posición. Solo tenemos que seguir con el tipo de movimiento de cada eje:
a) El tiempo que tarda en regresar al suelo lo podemos obtener imponiendo la condición de que la posición en el eje Y sea cero y resolviendo la ecuación:
La ecuación se cumple cuando t = 0 o cuando (28.51 - 4.9t) = 0. La primera solución es trivial y hace referencia al momento del lanzamiento, por lo que buscamos el valor de "t" para la otra condición:
![t = \frac{28.51\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{4.9\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 5.82\ s}}](local/cache-vignettes/L166xH54/056221457307768857eece95faf7609b-de898.png?1733429637 "t = \frac{28.51\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{4.9\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 5.82\ s}}")
b) Su velocidad al llegar al suelo tiene que ser la misma que la velocidad con la que fue lanzado. Esto se deduce porque no hay rozamiento y se tiene que conservar la energía. Aún así, se puede comprobar a partir de un razonamiento cinemático. Calculamos los valores de
y
para el tiempo anterior. Hay que tener en cuenta que
es
constante, por lo que no es necesario calcular nada:
![v_y = 28.51\ \frac{m}{s} - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-28.53\ \frac{m}{s}}}](local/cache-vignettes/L319xH35/04da4827b09795634482ad3d1422ea7b-9ef75.png?1733429637 "v_y = 28.51\ \frac{m}{s} - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-28.53\ \frac{m}{s}}}")
La rapidez será el módulo de la velocidad:
![v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{[18.52^2 + (-28.53)^2]\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{34\ \frac{m}{s}}}}](local/cache-vignettes/L379xH40/557b6c27bf46f06a39facb76ba64a0af-6b133.png?1733429637 "v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{[18.52^2 + (-28.53)^2]\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{34\ \frac{m}{s}}}}")
c) El alcance de la piedra se obtiene sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación de la posición del eje X:
![x = 18.52\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 107.8\ m}}](local/cache-vignettes/L241xH35/ae69602257bb55278d54577c17d0a3a6-07488.png?1733429637 "x = 18.52\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 5.82\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 107.8\ m}}")
d) Cuando la piedra alcance la máxima altura, su altura en el eje Y será cero. A partir de ahí podemos calcular el tiempo de subida de la piedra y obtener la posición en ambos ejes. El tiempo de subida, dado que es un movimiento simétrico, es la mitad del tiempo de vuelo (
). De todos modos lo calculamos con la condición de que
:
![0 = 28.51 - 9.8t_s\ \to\ t_s = \frac{28.51\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 2.91\ s}](local/cache-vignettes/L317xH54/bcfa9a9dc361ac8df708390695b3bba5-2b72c.png?1733429637 "0 = 28.51 - 9.8t_s\ \to\ t_s = \frac{28.51\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 2.91\ s}")
Con este tiempo calculamos las posiciones horizontal y vertical y damos las coordenadas:
![x = 18.52\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 53.9\ m}](local/cache-vignettes/L220xH35/09c0d2b154ee235fc803969258f148ca-a423e.png?1733429637 "x = 18.52\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 53.9\ m}")
![y = 28.51\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2.91^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 41.5\ m}](local/cache-vignettes/L350xH35/7a6755e5da4b8a77cc01af2ad963ef7f-0ce02.png?1733429637 "y = 28.51\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.91\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2.91^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 41.5\ m}")
Las coordenadas que nos solicitan son:
![\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf h (53.9, 41.5)}}](local/cache-vignettes/L119xH26/2d8750c774ddc6a0d33271ed0677e285-2ec39.png?1733429637 "\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf h (53.9, 41.5)}}")
Ejercicios FyQ
formando un ángulo de 
con la horizontal. Determina: