Análisis vectorial de un choque perfectamente inelástico de tres masas distintas

, por F_y_Q

Tres partículas de masas 3m, 2m y m, con celeridades 3v, 2v y v, respectivamente, confluyen en un punto como se muestra la figura. La partícula 1 se mueve con una velocidad paralela al eje X, mientras que las partículas 2 y 3 se mueven con velocidades en las direcciones determinadas por los ángulos \theta_2 y \theta_3, como se muestra en la figura. Después de la colisión las tres partículas permanecen unidas.

a) Determina analíticamente, y en función de las variables suministradas en el enunciado, el momento total antes del choque, expresado vectorialmente en términos de los vectores unitarios \vec i y \vec j.

b) La velocidad final, expresada vectorialmente en términos de los vectores unitarios \vec i y \vec j, de las partículas unidas después del choque.

Para el conjunto de valores m = 5.70 kg, v = 7.30 m/s, \theta_2 = 28.0^o y \theta_3 = 43.0^o, determina numéricamente:

c) Los resultados obtenidos los apartados a) y b).

d) La dirección de la velocidad final de las masas unidas.


SOLUCIÓN:

En primer lugar vamos a escribir las velocidades de cada una de las partículas en forma vectorial:
\vec v_1 = 3v\ \vec i
\vec v_2 = 2v\cdot cos\ \theta_2\ \vec i + 2v\cdot sen\ \theta_2\ \vec j
\vec v_3 = -v\cdot sen\ \theta_3\ \vec i - v\cdot cos\ \theta_3\ \vec j
a) El momento lineal del sistema antes del choque es:
\vec p_0 = m_1\cdot \vec v_1 + m_2\vec v_2 + m_3\cdot \vec v_3
\vec p_0 = 9mv_0\ \vec i + 4mv_0\cdot cos\ \theta_2\ \vec i + 4mv_0\cdot sen\ \theta_2\ \vec j - mv_0\cdot sen\ \theta_3\ \vec i - mv_0\cdot cos\ \theta_3\ \vec j
Sacamos factor común y reescribimos el momento lineal inicial del sistema:

\bf \vec p_0 = mv_0[(9 + 4cos\ \theta_2 - sen\ \theta_3)\ \vec i + (4sen\ \theta_2 - cos\ \theta_3)\ \vec j]


b) Al ser un choque inelástico se debe conservar la cantidad de movimiento del sistema, por lo que se debe cumplir la ecuación:
\vec p_0 = \vec p_f = (m_1 + m_2 + m_3)\cdot \vec v_f = 6m\cdot \vec v_f
Como conocemos el momento lineal inicial calculado en el apartado a), solo tenemos que sustituir y despejar el valor de la velocidad final:

\bf v_f = \frac{v_0}{6}[(9 + 4cos\ \theta_2 - sen\ \theta_3)\ \vec i + (4sen\ \theta_2 - cos\ \theta_3)\ \vec j]


c) Tan solo tenemos que sustituir los valores concretos que el enunciado ofrece en este punto para obtener los resultados numéricos:

\vec p_0 = 5.70\ kg\cdot 7.30\frac{m}{s}\cdot \left(11.85\ \vec i + 1.15\ \vec j\right) = \bf 493\ \vec i + 47.8\ \vec j\ \left(\frac{kg\cdot m}{s}\right)


\vec v_f = \frac{7.3}{6}\frac{m}{s}\cdot \left(11.85\ \vec i + 1.15\ \vec j\right) = \bf 14.4\ \vec i + 1.40\ \vec j\ \left(\frac{m}{s}\right)


d) La dirección de la velocidad final la obtenemos con el coseno director del vector \vec v_f. Para ello calculamos el módulo del vector:
v_f = \sqrt{v_{fx}^2 + v_{yf}^2} = \sqrt{(14.4^2 + 1.4^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = 14.5\ \frac{m}{s}
El ángulo que forma con la dirección X es:

cos\ \theta_f = \frac{v_{xf}}{v_f}\ \to\ \theta_f = arccos\ \frac{14.4}{14.5} = \bf 6.7^o