Campo eléctrico generado por una línea de carga infinita (7128)

, por F_y_Q

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Sea una línea de carga infinita uniformemente cargada de densidad lineal de carga \lambda = \textstyle{q\over L} , siendo q la carga que hay en un largo L de la línea de carga.

a) Muestra que el campo eléctrico generado por la línea de carga es perpendicular a la misma en cualquier punto del espacio e indica qué tipo de simetría posee el campo eléctrico generado por la misma.

b) Demuestra, a partir de la ley de Gauss, que el campo eléctrico generado por la línea de carga en un punto cualquiera a una distancia r de la misma esta dado por la ecuación E = \textstyle{\lambda\over 2\pi\cdot r\cdot \varepsilon_0} .

P.-S.

a) Suponiendo que las cargas de la línea de carga son positivas, en el siguiente esquema puedes ver que el campo eléctrico que genera esa línea de carga es radial y dirigido hacia fuera.

Clicando en el esquema lo puedes ver con más detalle.

Cada una de las cargas contenidas en el lineal de carga genera un campo que está definido por las líneas de fuerza del mismo. La simetría del campo es cilíndrica, como puedes ver en el esquema.

b) El flujo del campo eléctrico será la suma de los flujos en las tres superficies del cilindro; los dos extremos y el cuerpo del cilindro:

\Phi_E = \Phi_{e_1} + \Phi_{e_2} + \Phi_c

En los extremos del cilindro, el vector superficie es perpendicular al campo eléctrico, por lo tanto:

\Phi_{e_1} = \Phi_{e_2} = \vec E\cdot d\vec S = E\cdot S\cdot cos\ 90 = 0

El flujo del campo eléctrico será solo el que atraviesa la supercie del cuerpo del cilindro porque, en este caso, el vector superficie es paralelo al campo representado. Tendrías entonces la integral:

\Phi_E = \int_S \vec E\cdot d\vec S = \int_S E\cdot dS\cdot \cancelto{1}{cos\ 0}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Phi_E = E\cdot \int_S dS}}

La superficie del cuerpo del cilindro es igual al producto de la circunferencia del cilindro por la longitud del cuerpo, es decir: S = 2\pi R\cdot L .

Ahora debes tener en cuenta la ecuación del Teorema de Gauss para la carga contenida en una superficie cerrada, que es proporcional a ella. Debes expresar esta ecuación en función de la densidad lineal del carga, que es dato que te propone el enunciado:

\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Phi_E = \frac{\lambda\cdot L}{\varepsilon_0}}}

Si igualas ambas expresiones para el flujo del campo eléctrico:

\frac{\lambda\cdot \cancel{L}}{\varepsilon_0} = E\cdot 2\pi R\cdot \cancel{L}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = \frac{\lambda}{2\pi R\cdot \varepsilon_0}}}

Si en lugar de considerar este campo en la superficie del cilindro lo quieres considerar en un punto cualquiera que dista una distancia r del lineal de carga solo tienes que tener en cuenta esa distancia en la ecuación:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E = \frac{\lambda}{2\pi\cdot r\cdot \varepsilon_0}}}}