Condición para que un péndulo gire completamente al topar con una clavija

, por F_y_Q

Un péndulo, que consta de una cuerda ligera de longitud L y una esfera pequeña, se balancean en el plano vertical. La cuerda golpea una clavija ubicada a una distancia d bajo el punto de suspensión, como se puede ver en la figura. Demuestra que si el péndulo se libera desde la posición horizontal (\theta = 90^o) y se balancea en un círculo completo con centro de la clavija, el valor mínimo de d debe ser 3L/5.


SOLUCIÓN:

Si dejamos caer el péndulo desde la posición horizontal, y tomando como referencia esa posición, al llegar a la verticalidad chocará contra la clavija y ascenderá, siendo su energía potencial cuando llegue a la horizontalidad:

E_P = - mg[d - (L - d)]

La energía del péndulo se ha de conservar por lo que la suma de su energía cinética y potencial en ese punto debe ser cero, es decir:

E_P + E_C = 0\ \to\ \cancel{m}\cdot g[d - (L - d)] = \frac{\cancel{m}}{2}\cdot v^2\ \to\ \color{blue}{v^2 = 2g(2d - L)}

Como el péndulo describe un movimiento circular, se debe cumplir que la resultante de las fuerzas sea igual a la fuerza centrípeta, siendo el radio de giro (L - d):

\cancel{m}\cdot g = \frac{\cancel{m}\cdot v^2}{(L - d)}\ \to\ \color{blue}{v^2 = g(L - d)}

Si igualas ambas ecuaciones y despejas el valor de d:

2\cancel{g}(2d - L) = \cancel{g}(L - d)\ \to\ 4d - L = L - d\ \to\ \fbox{\color{red}{\bm{d = \frac{3L}{5}}}}