Conservación de la energía mecánica y del momento lineal (7300)

, por F_y_Q

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Una partícula de masa m se lanza con una velocidad inicial v _0 desde una altura h. Si en el trayecto AB se degrada una cantidad de energía igual a E = \frac{mgh}{8}\ (J) y si m choca de forma perfectamente inelástica con M, determina la v _0 mínima de m para que las partículas describan un movimiento circular.

P.-S.

Debes empezar haciendo un balance de energía mecánica entre la posición inicial (que llamaré A) y el momento en el que va a impactar con la masa M (que llamaré B).

E_M(A) = E_M(B) + W_{Roz}\ \to\ mgh + \frac{m}{2}v_0^2 = \frac{m}{2}v_B^2 + \frac{mgh}{8}

Agrupando y operando en la ecuación:

\cancel{m}\cdot g\cdot h\left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{\cancel{m}}{2}\left(v_B^2 - v_0^2\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_B^2 = \frac{2gh}{7} + v_0^2}} \ \ \color[RGB]{0,112,192}{\bf [1]}

En el momento de la colisión inelástica se tiene que conservar la cantidad de movimiento del sistema:

m\cdot v_B + M\cdot \cancelto{0}{v_M} = (m + M)v_i\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_i = \frac{m}{(m + M)}\cdot v_B}}

Para que el conjunto de los dos cuerpos unidos pueda describir la circunferencia es necesario que la energía cinética inicial del conjunto sea igual a la energía potencial que tendrá en el punto más alto de la trayectoria circular:

E_C(i) = E_P(f)\ \to\ \frac{(m + M)}{2}\cdot v_i^2 = (m + M)\cdot g\cdot L\ \to\ \frac{\cancel{(m + M)}}{2}\cdot \frac{m^2}{(m + M)\cancel{^2}}\cdot v_B^2 = (m + M)gL

Despejas el valor de la velocidad en B y sustituyes por el valor de [1]:

v_B^2 = \frac{2(m + M)^2}{m^2}\cdot gL\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{2gh}{7} + v_0^2 = \frac{2(m + M)^2}{m^2}\cdot gL}}

Despejando el valor de la velocidad inicial del bloque m:

v_0^2 = 2g\left[\frac{(m + M)^2}{m^2}\cdot L - \frac{h}{7}\right]\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v_0 = \sqrt{2g\left[\frac{(m + M)^2}{m^2}\cdot L - \frac{h}{7}\right]}}}}