Trabajo y potencia de una fuerza variable que provoca un desplazamiento (8450)

, por F_y_Q

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Un bloque de 5 kg de masa se desplaza sobre una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza variable \vec{F}_x = (20 - 2x)\ \vec{i}\ (\text{N}) , donde «x» es la posición en metros. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es \mu_c = 0.2.

a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza cuando el bloque se mueve desde x = 0 hasta x = 10 m.

b) Determina el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el mismo desplazamiento.

c) Si el bloque parte del reposo en x = 0, ¿cuál será su velocidad en x = 10 m?

d) ¿Qué potencia media desarrolla la fuerza durante este proceso?

Dato: g = 9.8\ m\cdot s^{-2}

P.-S.

a) El trabajo realizado por la fuerza variable dada es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{W_F = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\ dx}}

Si sustituyes los límites de integración, el valor de la fuerza e integras:

W_F = \int_{0}^{10} (20 - 2x)\ dx = \left[ 20x - x^2 \right]_0^{10} = (200 - 100) - 0 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 100\ J}}


b) La fuerza de rozamiento, debida al coeficiente de rozamiento cinético, es constante y se opone al movimiento:

F_R = \mu_c\cdot N\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{F_R = \mu_c\cdot m\cdot g}}} = 0.2\cdot 5\ kg\cdot 9.8\ m\cdot s^{-2} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.8\ N}}

El trabajo de la fuerza de rozamiento es:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{W_R = \vec{F}_R\cdot \Delta \vec{x}}}} = F_R \cdot \Delta x \cdot cos\ 180^o\ \to\ W_R = - 9.8\ N\cdot 10\ m = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf - 98\ J}}}


c) Dado que conoces el trabajo debido a la fuerza y el trabajo de rozamiento, puedes aplicar el teorema de las fuerzas vivas para determinar la velocidad final del bloque:

W_T = \Delta E_C\ \to\ W_T = E_C(f) - \cancelto{0}{E_C(i)}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{(W_F + W_R) = E_C(f)}}

Si escribes la energía cinética en función de la velocidad y la despejas:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{\frac{2(W_F + W_R)}{m}}}}

Sustituyes los datos en la ecuación y calculas:

v = \sqrt{\frac{2\cdot (100 - 98)\ J}{5\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{0.89\ m\cdot s^{-1}}}}


d) La potencia media se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\bar{P} = \frac{W_F}{\Delta t}}}

Primero necesitas calcular el tiempo que tarda el bloque en moverse desde hasta 10 m, por lo que tienes que calcular la aceleración del bloque. La fuerza neta sobre el bloque es:

\vec{F}_{\text{neta}} = F_x - F_R = (20 - 2x) - 9.8\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{F}_n = (10.2 - 2x)\ \vec{i}}}

La aceleración es, por lo tanto:

\vec{a} = \frac{\vec{F}_n}{m} = \frac{(10.2 - 2x)\ \vec{i}\ N}{5\ kg} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{(2.04 - 0.4x)\ \vec{i}\ (m\cdot s^{-2})}}

Esta aceleración no es constante, por lo que debes resolver la ecuación diferencial del movimiento:

a = \frac{dv}{dt} = 2.04 - 0.4x

Es mejor expresar la aceleración en función de «dx»:

\left a = \dfrac{dv}{dt} \atop v = \dfrac{dx}{dt}\ \to\ dt = \dfrac{dx}{v}\right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a = v\cdot \frac{dv}{dx} = 2.04 - 0.4x}}

Separas variables e integras:

\int v\ dv = \int (2.04 - 0.4x)\ dx\ \to\ \frac{v^2}{2} = 2.04x - 0.2x^2 + C

Para x = 0 la velocidad es cero y, por lo tanto, la constante de integración C = 0. La ecuación que obtienes es:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{v^2 = 4.08x - 0.4x^2}}

Para hallar \Delta t tienes que integrar la velocidad:

v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{4.08x - 0.4x^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta t = \int_{0}^{10} \frac{dx}{\sqrt{4.08x - 0.4x^2}}}}

La resolución de esta integral es compleja y la debes hacer en varios pasos. Primero puedes factorizar el radicando:

\sqrt{4.08x - 0.4x^2} = \sqrt{0.4(10.2x - x^2)} = \sqrt{0.4[x(10.2 - x)]}

Ahora puedes reescribir la integral anterior, sacando fuera del integrando la constante:

\Delta t = \frac{1}{\sqrt{0.4}} \int_{0}^{10} \frac{dx}{\sqrt{x(10.2 - x)}}

La resuelves por sustitución haciendo:

\left x = 10.2\ sen^2\ \alpha \atop dx = 20.4\cdot sen\ \alpha\cdot cos\ \alpha \right \}\ \implies\ \left x = 0\ \to\ \alpha = 0 \atop x = 10\ \to\ \alpha = \frac{\pi}{2} \right \}

La nueva integral es:

\Delta t = \frac{1}{\sqrt{0.4}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{20.4\cdot sen\ \alpha\cdot cos\ \alpha}{\sqrt{10.2\cdot sen^2\ \alpha(10.2 - 10.2\cdot sen^2\ \alpha)}}\ d\alpha

Operas en radicando y obtienes:

\Delta t = \frac{1}{\sqrt{0.4}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{20.4\cdot sen\ \alpha\cdot cos\ \alpha}{\sqrt{10.2^2\cdot sen^2\ \alpha\cdot cos^2\ \alpha}}\ d\alpha = \frac{1}{\sqrt{0.4}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{20.4}{10.2}d\alpha = \frac{2}{\sqrt{0.4}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\alpha

El resultado de la integral es:

\Delta t = \frac{\cancel{2}}{\sqrt{0.4}}\cdot \frac{\pi}{\cancel{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{0.4}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 4.96\ s}

La potencia media es:

\bar{P} = \frac{100\ J}{4.96\ s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 20.2\ W}}