Trabajo de una fuerza variable a lo largo de una curva

, por F_y_Q

Determina el trabajo realizado por la fuerza \vec F = x^2\ \vec i + 2x\ \vec j - y^2\ \vec k a lo largo de las curva \vec r = 3t\ \vec i + t\ \vec j - t^2\ \vec k para t que pertenece a [0, 2].


SOLUCIÓN:

Para calcular el trabajo vamos a aplicar la ecuación: W = \vec F\cdot \frac{d\vec r}{dt}.
En primer lugar vamos a hacer la derivada de \vec r con respecto al tiempo:

\frac{d\vec r}{dt} = 3\ \vec i + \vec j - 2t\ \vec k. Ahora expresamos el vector \vec F sobre la curva descrita por \vec r. Para ello tomamos como x la componente \vec i de la curva y como y la componente \vec j de la curva:
\vec F = 9t^2\ \vec + 6t\ \vec j - t^2\ \vec k

El trabajo es el producto escalar entre los dos vectores. Como lo hacemos componente a componente y cos 0 = 1, obtenemos:

W(t) = 27t^2 + 6t + 4t^3

Ya solo nos queda integrar en el intervalo de tiempo dado en el enunciado:

W = \int^2_0 (4t^3 + 27t^2 + 6t)\ dt = 4\left[\frac{t^4}{4}\right]^2_0 + 27\left[\frac{t^3}{3}\right]^2_0 + 6\left[\frac{t^2}{2}\right]^2_0 = 16 + 72 + 12 = \bf 100\ J