Trabajo de una fuerza variable a lo largo de una curva (6175)

, por F_y_Q

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Determina el trabajo realizado por la fuerza \vec F = x^2\ \vec i + 2x\ \vec j - y^2\ \vec k a lo largo de las curva \vec r = 3t\ \vec i + t\ \vec j - t^2\ \vec k para t que pertenece a [0, 2].

P.-S.

Para calcular el trabajo aplicas la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{W = \vec{F}\cdot \frac{d\vec r}{dt}}}

En primer lugar haces la derivada de \vec r con respecto al tiempo:

\frac{d\vec r}{dt} = 3\ \vec i + \vec j - 2t\ \vec k

Ahora expresas el vector \vec F sobre la curva descrita por \vec r . Para ello tomas como x la componente \vec i de la curva y como y la componente \vec j de la curva:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{F} = 9t^2\ \vec + 6t\ \vec j - t^2\ \vec k}}

El trabajo es el producto escalar entre los dos vectores. Como lo haces componente a componente y (cos 0 = 1), obtienes:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{W(t) = 27t^2 + 6t + 4t^3}}

Ya solo tienes que integrar en el intervalo de tiempo dado en el enunciado:

W = \int^2_0 (4t^3 + 27t^2 + 6t)\ dt = 4\left[\frac{t^4}{4}\right]^2_0 + 27\left[\frac{t^3}{3}\right]^2_0 + 6\left[\frac{t^2}{2}\right]^2_0 = 16 + 72 + 12 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf100\ J}}}