Velocidad instantánea y velocidad media a partir de la ecuación de posición (228)

, por F_y_Q

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El vector de posición de un móvil es:

\vec r = t^3\ \vec i + 2t\ \vec j + 3t^2\ \vec k

Calcula:

a) Su velocidad al cabo de 2 segundos.

b) Su velocidad media durante los cuatro primeros segundos.

P.-S.

a) La velocidad para un instante determinado la obtienes si haces la derivada del vector de posición con respecto del tiempo:

\vec v = \frac{d\vec r}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{v} = 3t^2\ \vec i + 2\ \vec j + 6t\ \vec k}}

La velocidad a los dos segundos la calculas si sustituyes por t = 2 s en la ecuación anterior:

\vec{v} = 3\cdot 2^2\ \vec i + 2\ \vec j + 6\cdot 2\ \vec k\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{v}_2 = 12\ \vec i + 2\ \vec j + 12\ \vec k}}}


b) La velocidad media la calculas a partir de la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{v}_m = \frac{\vec{r}_f - \vec{r}_i}{t_f - t_i}}}

Los vectores de posición para los tiempos t = 0 s y t = 4 s son:

\left \vec{r}_4 = 4^3\ \vec i + 2\cdot 4\ \vec j + 3\cdot 4^2\ \vec k\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{r}_4 = 64\ \vec i + 8\ \vec j + 48\ \vec k}}} \atop {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{r}_0 = 0}}} \right \}

La velocidad media la obtienes al sustituir en la ecuación:

\vec{v}_m = \frac{64\ \vec i + 8\ \vec j + 48\ \vec k}{4}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{v}_m = 16\ \vec i + 2\ \vec j + 12\ \vec k}}}

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