Deducción de si un objeto lanzado parabólicamente llega a la azotea o no de un edificio

, por F_y_Q

Desde el suelo lanzó un objeto con una velocidad de 20 m/s y con un ángulo de 45^o. A 22 m hay un edificio de 8 m de altura:

a) ¿Llegará este objeto a la azotea o bien chocará contra la pared vertical de este edificio?

b) Si llega a la azotea, ¿dónde caerá exactamente el objeto?

c) Si choca con la pared, ¿dónde tendrá lugar el impacto?


SOLUCIÓN:

En primer lugar calculamos las velocidades iniciales en los ejes X e Y, que son iguales porque el ángulo es de 45^o y las funciones seno y coseno valen lo mismo:
v_{0x} = v_0\cdot cos\ 45^o = 20\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 45^0 = 14.14\ \frac{m}{s}

v_{0y} = v_0\cdot sen\ 45^o = 20\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 45^0 = 14.14\ \frac{m}{s}
Las ecuaciones de la posición para el objeto quedan como:
x = v_{0x}\cdot t\ \to\ x = 14.14t
y = v_{0y}\cdot t - 4.9\cdot t^2\ \to\ y = 14.14t - 4.9t^2

a) La clave para resolver este apartado está en imponer la condición de que la distancia horizontal debe ser 8 m, que es donde está situado el edificio, y calcular la altura a la que se encuentra el objeto:
t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{22\ \cancel{m}}{14.14\ \frac{\cancel{m}}{s}} = 1.56\ s
Habrán pasado 1.56 s del lanzamiento cuando alcance el edificio. Ahora calculamos la altura a la que estará el objeto:

y = 14.14\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.56\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.56^2\ \cancel{s^2} = 10.13\ m

Esto quiere decir que llega a la azotea del edificio.
b) El objeto ha sobrepasado la altura del edificio para alcanzar la azotea pero ahora necesitamos saber a qué distancia del punto de lanzamiento cae sobre la azotea. La condición que imponemos es que la altura del objeto sea y = 8 m y sustituimos en la ecuación de la posición vertical:
8 = 14.14t - 4.9t^2\ \to\ 4.9t^2 - 14.14t + 8 = 0
Tenemos que resolver la ecuación de segundo grado y obtenemos dos resultados: t_1 = 0.77\ s y t_2 = 2.11\ s. El resultado que tiene sentido físico para la cuestión que estamos resolviendo es t_2. Calculamos la posición horizontal con ese tiempo:

x = 14.14\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.11\ \cancel{s} = \bf 29.8\ m