Deducción de si un objeto lanzado parabólicamente llega a la azotea o no de un edificio (6172)

, por F_y_Q

Desde el suelo lanzó un objeto con una velocidad de 20 m/s y con un ángulo de 45 ^o. A 22 m hay un edificio de 8 m de altura:

a) ¿Llegará este objeto a la azotea o bien chocará contra la pared vertical de este edificio?

b) Si llega a la azotea, ¿dónde caerá exactamente el objeto?

c) Si choca con la pared, ¿dónde tendrá lugar el impacto?


SOLUCIÓN:

En primer lugar calculas las velocidades iniciales en los ejes X e Y, que son iguales porque el ángulo es de 45 ^o y las funciones seno y coseno valen lo mismo:

\left v_{0x} = v_0\cdot cos\ 45^o = 20\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 45^0 = 14.14\ \frac{m}{s} \atop v_{0y} = v_0\cdot sen\ 45^o = 20\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 45^0 = 14.14\ \frac{m}{s} \right \}

Las ecuaciones de la posición para el objeto te quedan como:
\left x = v_{0x}\cdot t\ \to\ x = 14.14t \atop y = v_{0y}\cdot t - 4.9\cdot t^2\ \to\ y = 14.14t - 4.9t^2 \right \}

a) La clave para resolver este apartado está en que impongas la condición de que la distancia horizontal debe ser 8 m, que es donde está situado el edificio, y calculas la altura a la que se encuentra el objeto:

t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{22\ \cancel{m}}{14.14\ \frac{\cancel{m}}{s}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.56\ s}

Habrán pasado 1.56 s del lanzamiento cuando alcance el edificio. Ahora calculas la altura a la que estará el objeto:

y = 14.14\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.56\ \cancel{s} - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.56^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 10.13\ m}}


Esto quiere decir que llega a la azotea del edificio.

b) El objeto ha sobrepasado la altura del edificio para alcanzar la azotea pero ahora necesitas saber a qué distancia del punto de lanzamiento cae sobre la azotea. La condición que impones es que la altura del objeto sea y = 8 m y sustituyes en la ecuación de la posición vertical:

8 = 14.14t - 4.9t^2\ \to\ 4.9t^2 - 14.14t + 8  = 0

Tienes que resolver la ecuación de segundo grado y obtienes dos resultados:

t_1  = 0.77\ s y \color[RGB]{0,112,192}{\bf t_2 = 2.11\ s}

El resultado que tiene sentido físico para la cuestión que estamos resolviendo es el marcado en azul.

Calculas la posición horizontal con ese tiempo:

x = 14.14\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.11\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 29.8\ m}}