Dinámica de un sistema de tres cuerpos enlazados con rozamiento (7377)

, por F_y_Q

El bloque de 90 kg representado en la figura se mueve inicialmente hacia arriba con una velocidad de v_0 = 8\ \textstyle{m\over s} . Las poleas no tienen rozamiento y el coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano es 0.10. ¿Qué valor constante de P le dará una velocidad hacia arriba de v = 16\ \textstyle{m\over s} al cabo de 12 s? ¿Cuál es el impulso total del movimiento?


SOLUCIÓN:

Es buena idea dibujar las fuerzas a considerar en el problema. En la siguiente imagen puedes ver las fuerzas de rozamiento en verde y el peso del cuerpo que cuelga en rojo. En violeta está la fuerza que debes considerar y el sentido en el que se mueve el sistema:
Aplicando la segunda ley de Newton obtienes la ecuación, considerando las fuerzas de izquierda a derecha:

P - F_{R_1} - F_{R_2} - p_3 = (m_1 + m_2 + m_3)\cdot a\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{P = M_T\cdot a - F_{R_1} + F_{R_2} + p_3}}

Necesitas conocer los valores de la aceleración del sistema, las fuerzas de rozamiento y el peso del tercer cuerpo, aunque las puedes calcular sin problemas con los datos del enunciado:

a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{(16 - 8)\ \frac{m}{s^2}}{12\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.67\ \frac{m}{s^2}}}

F_{R_1} = \mu\cdot m_1\cdot g\cdot cos\ 45 = 0.1\cdot 40\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 45 = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 27.7\ N}

F_{R_2} = \mu\cdot m_2\cdot g = 0.1\cdot 30\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 45 = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 29.4\ N}

p_3 = m_3\cdot g = 90\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 882\ N}

Calculas el valor de la fuerza P:

P = 160\ kg\cdot 0.67\ \frac{m}{s^2} + (27.7 + 29.4 + 882)\ N = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.05\cdot 10^3\ N}}}


El impulso del sistema durante los 12 s que dura la aceleración es:

I = P\cdot t = 1.05\cdot 10^3\ N\cdot 12\ s = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.26\cdot 10^4\ N\cdot s}}}