Distancia a la que debe colocarse un tenista para devolver una bola (5616)

, por F_y_Q

Un tenista golpea la bola a una altura de 1 m de modo que su velocidad inicial es v_0  = 14\ \textstyle{m\over s} con un ángulo de 45\ ^o con respecto a la horizontal. El tenista golpea la bola con un efecto tal que, cuando la bola golpea el suelo al otro lado de la pista, la componente vertical de su velocidad se invierte mientras que la componente horizontal aumenta en un 30\ \%. ¿A qué distancia debería estar situado el tenista rival para golpear la bola, después de rebotar en el suelo, a una altura de 1.2 m mientras está ascendiendo?

P.-S.

En este problema es esencial manejar bien las ecuaciones del movimiento parabólico e ir imponiendo condiciones a cada una de ellas. En primer lugar, vas a calcular las componentes vertical y horizontal de la velocidad inicial, que serán iguales porque el ángulo de la misma es de 45\ ^o:

\left v_{0x} = v_0\cdot cos\ 45 = 9.9\ \frac{m}{s} \atop v_{0y} = v_0\cdot sen\ 45 = 9.9\ \frac{m}{s} \right \}

Calculas el tiempo que tardará la bola en rebotar al otro lado de la pista, para así determinar el valor de la velocidad vertical tras el rebote. La condición que debes imponer es que la componente vertical es cero:

\cancelto{0}{y} = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{- 4.9t^2 + 9.9t + 1 = 0}}

Al resolver la ecuación se segundo grado obtienes dos resultados, pero el único con sentido físico es \color[RGB]{0,112,192}{\bf t = 2.12\ s}. Esto quiere decir que la bola tardará en rebotar ese tiempo, por lo que puedes saber qué valor tendrá la componente vertical en el momento del impacto:

v_y = v_{0y} - gt = 9.9\ \frac{m}{s} - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 2.12\ \cancel{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-10.88\ \frac{m}{s}}}

En este punto, debes considerar la componente vertical positiva porque te lo dice el enunciado, es decir, \color[RGB]{0,112,192}{\bm{v_y = 10.88\ \frac{m}{s}}}. Además, la componente horizontal se verá aumentada un 30\ \%, por lo que, tras el rebote, la velocidad horizontal será:

v_x = 1.3\cdot v_{0x} = 1.3\cdot 9.9\ \frac{m}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{12.87\ \frac{m}{s}}}

Como el rival debe golpear la bola a una altura de 1.2 m, será esta la condición que debes imponer tras el rebote. La ecuación es:

y = v_yt - \frac{g}{2}t^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{1.2 = 10.88t - 4.9t^2}}

Resolviendo la ecuación de segundo grado anterior podrás saber el tiempo que tarda la bola en alcanzar esa altura tras el rebote. Obtienes dos resultados, pero el que te interesa es \color[RGB]{0,112,192}{\bf t = 0.12\ s} porque es el tiempo en el que la velocidad es ascendente. Ya solo tienes que calcular el valor de la posición horizontal, que será donde deba situarse el rival:

x = v_x\cdot t = 12.87\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 0.12\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1.55\ m}}

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