Distancia que separa a dos cuerpos cuando tienen la misma velocidad (6980)

, por F_y_Q

En la gráfica se muestra el movimiento de dos cuerpos A y B. Para el instante en el que tienen la misma rapidez, ¿qué distancia los separa?


SOLUCIÓN:

A partir de la gráfica puedes determinar la ecuación de la parábola porque conoces el vértice y conoces un punto (32, 4). La ecuación general de la parábola del gráfico, que es simétrica con respecto al eje Y, es:

y = y_0 + nx^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x_B = 260 + nt^2}}

Para el punto (32, 4) sustituyes en la ecuación anterior y calculas el valor de n:

4 = 260 + n\cdot 32^2\ \to\ n = \frac{(4 - 260)\ m}{32^2\ s^2} = \bm{-0.25\ \frac{m}{s^2}}

La ecuación de la posición del cuerpo B es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x_B = 260 - 0.25t^2}}

Ten cuidado porque la aceleración del cuerpo B tiene que ser el doble del valor calculado para n, es decir:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{a_B = -0.5\ \frac{m}{s^2}}}

Ahora necesitas saber cuánto es el valor de x para el instante t = 8 s:

x_B\ (8\ s) = 260\ m - 0.25\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 8^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 244\ m}

Ahora puedes calcular la velocidad del cuerpo A:

v_A = \frac{x_2 - x_1}{(t_2 - t_1} = \frac{(4 - 244)\ m}{(32 - 8)\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-10\ \frac{m}{s}}}

La posición inicial del cuerpo A la puedes obtener si consideras que la posición de ambos cuerpos es la misma para el instante 8 s:

x_A = x_{0A} + v_A\cdot t\ \to\ x_{0A}\ \to\ 244\ m = x_{0A} - 10\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 8\ \cancel{s}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf 324\ m}

La ecuación de la posición para el cuerpo A es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x_A = 324 - 10t}}

Ahora debes calcular en qué momento ambos cuerpos tienen la misma velocidad, es decir, para qué tiempo el cuerpo B lleva una velocidad igual que la que has calculado para A (y que es constante). Recuerda que la ecuación de la velocidad depende de la ACELERACIÓN y su valor es el doble del calculado en la ecuación de la parábola:

v_B = a\cdot t\ \to\ t = \frac{-10\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{-0.5\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 20\ s}

Solo te queda calcular la posición de cada cuerpo para los 20 s y luego hacer la diferencia entre ambas:

\left x_A = 324\ m - 10\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 20\ \cancel{s} = 124\ m \atop x_B = 260\ m - 0.25\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 20^2\ \cancel{s^2} = 160\ m \right \}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf d = 36\ m}}

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