Dos cuerpos que se lanzan a la vez, uno vertical y otro oblicuo

, por F_y_Q

Dos cuerpos se lanzan simultáneamente desde un mismo punto: uno verticalmente hacia arriba, y otro formando un ángulo \alpha  = 60^o con la horizontal. La velocidad inicial de ambos cuerpos es v_0  = 25\ \textstyle{m\over s}.

a) Hallar la distancia entre los cuerpos a los 1.7 s.

b) Hallar la distancia entre ellos en el momento en el que los vectores de sus velocidades sean mutuamente perpendiculares.


SOLUCIÓN:

La velocidad del cuerpo 1 es perpendicular en todo momento, porque es un lanzamiento vertical. El cuerpo 2 sigue un lanzamiento oblicuo. Escribimos las ecuaciones de la velocidad y la posición de cada cuerpo en cada una sus direcciones:
Cuerpo 1:

Velocidad: \vec v_1  = (v_{01} - gt)\ \vec j
Posición: \vec s_1  = \left(v_{01}\cdot t - \frac{g}{2}\cdot t^2\right)\ \vec j

Cuerpo 2:

Velocidad: \vec v_{2x}  = (v_{02}\cdot cos\ 60)\ \vec i
\vec v_{2y}  = (v_{02}\cdot sen\ 60 - gt)\ \vec j

Posición: \vec s_{2x}  = (v_{02}\cdot t\cdot cos\ 60)\ \vec i
\vec s_{2y}  = \left(v_{02}\cdot t\cdot sen\ 60 - \frac{g}{2}\cdot t^2\right)\ \vec j

a) Calculamos las posiciones de los dos cuerpos para t = 1.7 s:

\vec s_1 = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.7\ \cancel{s} - \frac{9.8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.7^2\ \cancel{s^2}  = 28.3\ \vec j\ (m)

\vec s_{2x} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.7\ \cancel{s}\cdot cos\ 60  = 21.25\ \vec i\ (m)

\vec s_{2y} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.7\ \cancel{s}\cdot sen\ 60 - \frac{9.8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.7^2\ \cancel{s^2}  = 22.6\ \vec j\ (m)

La distancia que separa ambos cuerpos la calculamos haciendo la diferencia entre las posiciones vertical y horizontal de cada cuerpo:

d = \sqrt{(28.3 - 22.6)^2 + 21.2^2} = \fbox{\color{red}{\bm{21.9\ m}}}


b) Las velocidad de ambos cuerpos serán perpendiculares entre sí cuando la componente y de la velocidad del cuerpo 2 sea cero:

v_{2y} = 0 = v_{02}\cdot sen\ 60 - gt\ \to\ t = \frac{25\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}\cdot sen\ 60}{9.8\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color{blue}{2.2\ s}

Ahora hacemos lo mismo que en el apartado anterior para el tiempo que acabamos de calcular:

\vec s_1 = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.2\ \cancel{s} - \frac{9.8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2.2^2\ \cancel{s^2}  = 31.3\ \vec j\ (m)

\vec s_{2x} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.2\ \cancel{s}\cdot cos\ 60  = 27.5\ \vec i\ (m)

\vec s_{2y} = 25\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2.2\ \cancel{s}\cdot sen\ 60 - \frac{9.8}{2}\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2.2^2\ \cancel{s^2}  = 23.9\ \vec j\ (m)

La distancia que separa ambos cuerpos la calculamos haciendo la diferencia entre las posiciones vertical y horizontal de cada cuerpo:

d = \sqrt{(31.3 - 23.9)^2 + 27.5^2} = \fbox{\color{red}{\bm{28.5\ m}}}