EvAU Andalucía Física junio 2018: ejercicio 2 opción A (resuelto)

, por F_y_Q

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Una partícula cargada positivamente se mueve en la misma dirección y sentido de un campo eléctrico uniforme. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: i) ¿Se detendrá la partícula? ; ii) ¿se desplazará la partícula hacia donde aumenta su energía potencial?

b) Dos cargas puntuales q_1 = 5\cdot 10^{-6}\ C y q_2 = -5\cdot 10^{-6}\ C están situadas en los puntos A (0, 0) m y B (2, 0) m respectivamente. Calcula el valor del campo eléctrico en el punto C (2, 1) m.

K = 9\cdot 10^9\ N\cdot m^2\cdot C^{-2}


SOLUCIÓN:

En el caso de una partícula eléctrica libre en el seno de un campo eléctrico, la fuerza de interacción entre la partícula y el campo viene dada por la expresión:

\vec F = q\cdot \vec E

Si la partícula es positiva, tanto el campo como la fuerza eléctrica debida a él han de tener la misma dirección y sentido.

i) Si consideramos que la única fuerza presente es la fuerza eléctrica, el trabajo debido a ella ha de ser igual a la variación de la energía cinética que sufra la partícula. Podemos escribir ese trabajo como:

W = \vec F_e\cdot \vec d = F_e\cdot d\cdot cos\ \alpha

Como la carga se desplaza paralela al campo, el ángulo \alpha = 0 y el trabajo es máximo y positivo, por lo que la variación de la energía cinética de la partícula también lo será. Esto quiere decir que la partícula ha de ir aumentando su velocidad por lo que no se detendrá.

ii) El trabajo eléctrico es conservativo, lo que significa que la energía mecánica del sistema ha de permanecer constante:

\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_P = 0


Si la variación de la energía cinética es positiva, es decir, la partícula aumenta su velocidad, la variación de la energía potencial eléctrica ha de disminuir, por lo que la partícula se desplaza hacia donde disminuye su energía potencial.

b) Para hacer este apartado vamos a hacer un esquema que nos permita visualizar la situación y aplicaremos el Principio de Superposición para calcular el campo resultante en C.

(Pica sobre la miniatura para ver el esquema en grande)


El campo debido a la partícula en B solo tiene componente vertical y hacia abajo, por ser una carga negativa. Su campo será:

\vec E_B = K\cdot \frac{q_2}{d_B^2} = 9\cdot 10^9\frac{N\cdot \cancel{m^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{-5\cdot 10^{-6}\ \cancel{C}}{1^2\ \cancel{m^2}} = -4.5\cdot 10^4\ \vec j\ (N\cdot m^{-1})


La distancia entre la carga q _1 y el punto C se puede calcular por medio del Teorema de Pitágoras y es d_A = \sqrt 5. El ángulo que forma el campo de la partícula en A con el eje horizontal se puede obtener a partir de la tangente:

tg\ \alpha = \frac{1}{2}\ \to\ \alpha = arctg\ 0.5 = 26.56 ^o

Ahora podemos calcular el campo en A:

\vec E_A = K\cdot \frac{q_1}{d_A^2} (cos\ \alpha\ \vec i + sen\ \alpha\ \vec j) = 9\cdot 10^9\frac{N\cdot \cancel{m^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{5\cdot 10^{-6}\ \cancel{C}}{(\sqrt 5)^2\ \cancel{m^2}} (cos\ 26.56\ \vec i + sen\ 26.56\ \vec j)

Al hacer las operaciones obtenemos:

\vec E_A = 8.050\cdot 10^3\ \vec i + 4.024\cdot 10^3\ \vec j


Sumando los dos vectores calculados se obtiene:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{E}_C = 8.050\cdot 10^3\ \vec i - 4.098\cdot 10^4\ \vec j}}}


El módulo de este vector resultante es:

E_C = \sqrt{(8.050\cdot 10^3)^2 + (4.098\cdot 10^4)^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4.176\cdot 10^4\ N\cdot C^{-1}}}}