Ecuaciones del movimiento de un móvil a partir de los datos de velocidad y tiempo (7042)

, por F_y_Q

La siguiente tabla muestra los valores de velocidad de un móvil en función del tiempo:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline v\ (\textstyle{m\over s})&9&12&18&21&27&30&39 \\\hline t\ (s)&0&1&3&4&6&7&10 \\\hline \end{tabular}

a) Interpreta dichos valores y realiza una gráfica v-t.

b) Determina la ecuación de la velocidad en función del tiempo. ¿Qué velocidad llevaría a los 15 s?

c) Halla la ecuación de la posición en función del tiempo y realiza la gráfica s-t.

d) Determina la posición en el instante 10 s si inicialmente se encontraba a 5 m del origen.


SOLUCIÓN:

a) Si clicas en la miniatura podrás ver la gráfica con más detalle.


Como obtienes una recta, el movimiento que lleva el móvil es un movimiento uniformemente acelerado.

b) Si calculas la pendiente de la recta, que es la aceleración del móvil, puedes escribir la ecuación de la velocidad. Basta con que consideres dos puntos cualesquiera de la tabla de datos. Voy a tomar el primero y el último:

a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_0} = \frac{(39 - 9)\ \frac{m}{s}}{(10 - 0)\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3\ \frac{m}{s^2}}}

Como valor en el corta la recta al eje Y es 9, la ecuación de la velocidad es:

v = a\cdot t + v_0\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf v = 3t + 9}}


Si sustituyes en la ecuación el tiempo por el valor indicado:

v = 3\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 15\ \cancel{s} =\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{45\ \frac{m}{s}}}}


c) La velocidad se define como la variación de la posición con respecto del tiempo. Si despejas:

v = \frac{ds}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf ds = v\cdot dt}

Integrando la ecuación anterior:

\int_{r_o}^r dr = \int_0^t (9 + 3t)dt\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{r - r_0 = 9t + 3\cdot \frac{t^2}{2}}}

Si ordenas y despejas la posición final:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{r = r_0 + 9t + 1.5t^2}}}


Puedes construir la gráfica si das valores al tiempo y calculas la posición. Si lo haces para los mismos valores de la gráfica del enuciado:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline r\ (m)&5&15.5&45.5&65&113&141.5&245 \\\hline t\ (s)&0&1&3&4&6&7&10 \\\hline \end{tabular}


Clicando en la miniatura podrás ver la gráfica con más detalle.


d) La posición se corresponde con el último punto de la tabla del apartado anterior. Lo puedes obtener sustituyendo el tiempo por el valor indicado:

r = 5\ m + 9\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 10\ \cancel{s} + 1.5\ \frac{m}{s^2}\cdot 10^2 \cancel{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 245\ m}}