Esquiador que salta de una pendiente y cae sobre otra más inclinada (7302)

, por F_y_Q

Un esquiador salta de una pendiente de 30 ^o a v = 20\ \textstyle{m\over s} y cae sobre otra pendiente de 45 ^o como se muestra en la figura.

Determina:

a) La distancia d al punto P en que cae.

b) La magnitud de la velocidad con que cae al punto P y el ángulo que esa velocidad forma con la pendiente de 45 ^o.


SOLUCIÓN:

Sobre el esquema del problema debes pintar las componentes de la velocidad del esquiador y calcularlas:

\left v_x = v_0\cdot cos\ 30^o \atop v_y = -v_0\cdot sen\ 30^o - gt \right \}

Si sustituyes por los valores de la velocidad inicial y la gravedad y calculas, tendrás los valores:

\left v_x = 17.3 \atop v_y = -10 - 9.8t \right \}

a) En la dirección horizontal el esquiador sigue un MRU mientras que en la dirección vertical es un MRUA. Las ecuaciones de la posición del esquiador, en función del tiempo, serán:

\left \color[RGB]{2,112,20}{\bf x = 17.3t \atop y = -10t - 4.9t^2 \right \}

Hasta el punto de contacto P el esquiador habrá recorrido una distancia x en el eje horizontal y otra en el eje vertical. Esta última tiene que ser la suma de los 4 m de desnivel que hay entre una rampa y la otra y la componente vertical sobre el plano, es decir, d\cdot sen\ 45^o. Vas a obtener las siguientes ecuaciones:

\left d\cdot cos\ 45^o = 17.3t \atop -4 - d\cdot sen\ 45^o = -10t - 4.9t^2 \right \}

Si despejas el tiempo en la primera ecuación y sustituyes en la segunda llegas a la ecuación:

\left t = 4.1\cdot 10^{-2}d \atop -4 - 0.71d = -0.41d - 8.2\cdot 10^{-3} d^2 \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{8.2\cdot 10^{-3}d^2 - 0.3d - 4 = 0}}

Al resolver la ecuación de segundo grado obtienes dos valores pero solo uno de ellos es positivo, que es el que tienes que considerar: \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf d = 47\ m}}

b) La velocidad del esquiador es la suma de sus componentes en el momento en que alcance el punto P. El tiempo que tarda en hacerlo lo puedes calcular en la componente horizontal y es:

t = 4.1\cdot 10^{-2}\cdot \frac{s}{\cancel{m}}\cdot 47\ \cancel{m} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.93\ s}}

La velocidad será:

\left v_x = 17.3\ \frac{m}{s} \atop v_y = -10\ \frac{m}{s} - 4.9\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 1.93 \cancel{s} = 28.9\ \frac{m}{s} \right \}

El módulo de la velocidad es:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(17.3^2 + 28.9^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{33.7\ \frac{m}{s}}}}


Para calcular el ángulo puedes usar varias razones trigonométricas. Voy a usar el coseno del ángulo y solo tienes que hacer el cociente entre la componente horizontal y la velocidad:

cos\ \alpha = \frac{v_x}{v}\ \to\ \alpha = \arccos\ \frac{17.3}{33.7} = 59^o

Como tienes que referir el ángulo a la rampa de los 45 ^o solo tienes que hacer el diferencia: \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 14 ^o}}}

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